Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

v
b
a
Figur 30: En triangel med de två sidorna a och b och dess mellanliggande vinkel v.
Sinussatsen För en triangel ABC med sidorna abc enligt Figur 31 gäller följande enligt sinussatsen:
A
c
b
Figur 31: En triangel ABC med sidorna abc.
sin A sin B sin C
= = .
a b c
Man kan visa sinussatsen från areasatsen, men vi utelämnar beviset.
Cosinussatsen Då en triangel ABC saknar en rät vinkel kan vi inte tillämpa Pythagoras sats.
Däremot gäller sambandet
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos C,
där a betecknar motstående sida till vinkeln A och så vidare, se Figur 31. Vi kommer inte ta upp
beviset av denna sats.
Exempel 3.39. Vad känner vi igen cosinussatsen som när vinkeln C är en rät vinkel?
Lösningsförslag: Om C är 90 ◦ gäller
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cosC = a 2 + b 2 − 2ab · 0 = a 2 + b 2 ,
vilket vi känner igen som Pythagoras sats. Pythagoras sats är alltså ett specialfall av cosinussatsen.
⋆
Exempel 3.40. Beräkna vinkeln v i Figur 32.
Lösningsförslag: Enligt cosinussatsen har vi
vilket vi kan skriva om som
√ 39 2
B
h
a
C
= 5 2 + 7 2 − 2 · 5 · 7 · cos v
1/2 = cos v.
75