Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Sammanfattningsvis har vi följande samband:
cos 2 v + sin 2 v = 1
Exempel 3.36. Bestäm sin(5π/6).
cos v = cos(−v)
sin v = − sin(−v)
Lösningsförslag: Vi har 5π/6 = π − π/6. Alltså är
Triangelsatserna
cos v = − cos(π − v) (eller cos v = − cos(180 ◦ − v))
sin v = sin(π − v) (eller sin v = sin(180 ◦ − v)).
sin(5π/6) = sin(π − π/6) = − sin(−π/6) = sin π/6 = 1/2.
I det här avsnittet kommer vi lära oss tre viktiga triangelsatser, nämligen areasatsen, cosinussatsen
och sinussatsen. Vi kommer att använda oss av det klassiska vinkelbegreppet i detta avsnitt, men
det går såklart även bra att mäta vinklarna i radianer.
Areasatsen Som du säkert kommer ihåg kan arean av en triangel beräknas med formeln
A =
där b står för basen och h för höjden i triangeln.
b · h
2
Exempel 3.37. Beräkna arean av en triangel med basen 5 cm och höjden 10 cm.
Lösningsförslag: Vi använder formeln ovan.
A =
b · h
2
= A = 5 · 10
2 = 25 cm2 .
Det areasatsen säger är hur man beräknar arean av en triangel när man känner till två sidor och
den mellanliggande vinkeln. Låt oss med ett exempel visa hur man kommer fram till areasatsen.
Exempel 3.38. Beräkna arean av en triangel där vi känner till två sidor, a och b samt dess mellanliggande
vinkel v.
Lösningsförslag: Vi börjar med att rita upp en triangel (se Figur 30) och rita in höjden. Vi kan då
skriva
sin v = h
b ,
och alltså är höjden h = b·sin v. Vi kan nu använda formeln vi hade tidigare för att beräkna arean:
basen · höjden
A = =
2
a · b · sin v
2
Vi har nu kommit fram till areasatsen. ⋆
Som vi såg i exemplet ovan så har vi följande formel:
a · b · sin v
Areasatsen: A = ,
2
som gäller när a och b är två sidor i en triangel och v är dess mellanliggande vinkel. Areasatsen
gäller för såväl trubbiga som spetsiga vinklar.
74
⋆
⋆