Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Lösningsförslag: Vi börjar med att ta några exempel för att få en uppfattning om vad svaret bör
vara.
1 ≡2 1, 2 ≡2 0, 3 ≡2 1, 4 ≡2 0, 5 ≡2 1
Vi ser att jämna tal får rest 0 vid division med 2, detta beror på att alla jämna tal kan skrivas som
2 · n för något heltal n. De udda talen får rest 1 vid division med två eftersom de kan skrivas på
formen 2 · n + 1 för något heltal n. ⋆
Exempel 1.28. Vad blir resten då 4 7 delas med 7?
Lösningsförslag: Det gäller att 16 ≡7 2, så genom att skriva 4 7 = (4 · 4) · (4 · 4) · (4 · 4) · 4 får vi
4 7 ≡7= 2 · 2 · 2 · 4 ≡7 4 · 2 · 4 ≡7 2 · 2 ≡7 4. Resten då 4 7 delas med 7 är alltså 4.
⋆
Exempel 1.29. Vad blir resten då 4 127 delas med 7?
Lösningsförslag: Eftersom 4 2 ≡7 2 så är 4 3 ≡7 4·2 ≡7 1. Nu är 127 = 3·42+1, så 4 127 = 4 3·42+1 =
(4 3 ) 42 · 4, varur det följer att (4 3 ) 42 · 4 ≡7 1 42 · 4 ≡7 4. ⋆
Kuriosa 3. Moduloräkning har en mycket viktig tillämpning inom kryptering och i den välanvända RSAalgoritmen
utnyttjar man en beräkningsasymmetri som uppstår vid just kongruensberäkningar.
Övningar
1. Vilken rest erhålls då 18 + 7 divideras med 5?
2. Vilken rest ger 64 vid division med 3?
3. Idag är det fredag. Vilken veckodag är det om 101 dagar?
4. Vilken rest ges då 64 · 78 − 65 · 101 delas med 5?
5. Vilken rest ges då 3 7 delas med 10?
6. Vilken rest ges då 2 204 delas med 11?
7. Siffersumman av ett tal är summan av de ingående siffrorna. Visa att ett tal som har en siffersumma
som är delbar med tre i sig är delbart med tre. Exempel: Talet 138 har siffersumman
1 + 3 + 8 = 12 som är delbart med tre. Alltså är 138 delbart med tre enligt påståendet ovan.
Tips: Nästa avsnitt, särskilt representationen i ekvation 1.5.1 nedan, kan vara till hjälp.
1.5 Representation av heltal
Vi är så vana med hur vi skriver tal att vi knappast lägger märkte till tanken bakom. Tio kronor
skriver vi som 10 kr, och nittiofem kronor som 95 kr. Men det finns många andra sätt att skriva,
eller med ett finare ord, representera tal på. Du har antagligen stött på romersk representation av
tal, där ett, fem och tio skrivs som I, V respektive X. Det här avsnittet kommer att handla om hur
man kan representera tal i olika talbaser.
Varför är detta intressant? Låt säga att du vill beskriva hur många femtio stenar är. Du kan
givetvis rita femtio streck och säga att du ser en sten för varje streck. Denna metod fungerar inte
så bra i praktiken, varför vi uppfann positionssystemet, som ett sätt att representera olika antal.
Låt oss titta på uttrycket 3526. Vilket antal representerar detta? Skulle vi gå till banken och
ta ut denna summan pengar så skulle vi sannolikt få tre stycken tusenlappar, fem hundralappar,
två tiokronor och sex enkronor. Här ser vi ett tydligt mönster, varje mynt eller sedel motsvarar
en viss potens av tio. Vi har alltså att 3526 = 3 · 10 3 + 5 · 10 2 + 2 · 10 1 + 6 · 10 0 . Att vi använder
13