Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

4 3 2 1 2 1 1 2 Figur 5: Skiss av funktionen f(x) = x 2 på intervallet [−2, 2] Grafen till f(x) och ekvationen f(x) = 0 Geometriskt svarar lösningarna till ekvationen f(x) = 0 mot de x-koordinater där grafen till funktionen f(x) skär x-axeln. 8 6 4 2 1 1 2 3 4 5 Figur 6: Grafen till x 2 − 4x + 3 på intervallet [−1, 5]. Ekvationen x 2 − 4x + 3 = 0 har 1 och 3 som rötter, vilket sammanfaller med de x-koordinater där grafen skär x-axeln. 10 8 6 4 2 3 2 1 1 2 3 Figur 7: Grafen till x 2 + 1 på intervallet [−3, 3]. Ekvationen x 2 + 1 = 0 saknar reella lösningar och grafen till x 2 + 1 skär därför inte x-axeln. För att bestämma skärningspunkter mellan olika grafer underlättar det ofta att översätta det geometriska problemet till ett algebraiskt problem. Genom att sätta grafernas ekvationer lika kan 52
vi bestämma x-koordinaterna för skärningspunkterna. Med insättning av x-koordinaterna (i någon av ekvationerna) kan vi även bestämma motsvarande y-koordinat. Exempel 3.11. Bestäm de punkter i xy-planet där grafen till f(x) = x 2 + x skär grafen till h(x) = x + 4. Lösningsförslag: Algebraiskt svarar frågan mot lösningar till ekvationen f(x) = h(x), det vill säga lösningar till ekvationen x 2 + x = x + 4. Lösningarna till den ekvationen är x ± 2. Vi har f(2) = 6 och f(−2) = 2, så skärningspunkterna är därför (2, 6) och (−2, 2), se även Figur 8. ⋆ 12 10 8 6 4 2 3 2 1 1 2 3 Figur 8: Graferna till x 2 + x och x + 4 skär varandra i punkterna (2, 6) och (−2, 2). Observera att det även kan hända att en linje och en parabel saknar skärningspunkter. Linjen y = x − 1 kommer aldrig att skära parabeln y = x 2 + x eftersom ekvationen x 2 + x = x − 1, som kan förenklas till x 2 = −1, saknar reella lösningar. Kuriosa 6. Algebraisk geometri är ett stort forskningsområde inom <strong>matematik</strong> och handlar i grunden om lösningar till ekvationssystem. Att kunna gå mellan algebraiska till geometriska framställningar av samma objekt är centralt i denna disciplin. Inversen till en funktion Låt oss betrakta punktmängden {(x, 1) | x ∈ R}. Grafen till funktionen f(x) = 1 sammanfaller med bilden av den punktmängden. Det är dock inte alltid som en punktmängd faktiskt svarar mot grafen till en funktion. Låt oss till exempel istället betrakta punktmängden {(1, b) | b ∈ R}. Om det skulle finnas en funktion f(x) vars graf sammanfaller med bilden av punktmängden så skulle f(1) anta alla reella värden och det är ju inte tillåtet. En funktion kan bara anta ett värde i varje punkt. Som vi har sett tidigare är {(x, f(x)), x ∈ Df } punktmängden till funktionen f med definitionsmängd Df , men som exemplet ovan visar så existerar det inte i allmänhet någon funktion g vars punktmängd är {(f(x), x), x ∈ Df }. Men när det existerar en sådan funktion g, så säger man att g är den inversa funktionen till f och vi betecknar inversen g med f −1 . Det gäller att f −1 (f(x)) = x och att f(f −1 (x)) = x. Om f har en invers så är den unikt bestämd och man säger att f är inverterbar. Inversbegreppet är symmetriskt, vilket innebär att om f −1 är invers till f så är f invers till f −1 . Det enklaste exemplet på en funktion som har en invers är f(x) = x. Den funktionen är sin egen invers, det vill säga f −1 = f eftersom {(x, f(x)), x ∈ R} = {(x, x), x ∈ R} = {(f(x), x), x ∈ R}. Förstagradspolynom är i allmänhet inverterbara. Exemplet nedan visar hur man i detta fall kan bestämma den inversa funktionen med hjälp av substitution. Exempel 3.12. Bestäm den inversa funktionen till f(x) = 2x + 1. 53
Page 1 and 2: Förberedande kurs i matematik Alex
Page 3 and 4: Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva h
Page 5 and 6: 1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 7 and 8: Potenser För att lättare hantera
Page 9 and 10: Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12: Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13 and 14: Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 15 and 16: Övningar 1. Konvertera 34 till bas
Page 17 and 18: Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20: 4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22: Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24: genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26: Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28: 2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30: Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32: Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34: 2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35 and 36: Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 37 and 38: det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 55 and 56: f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58: När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60: vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62: Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64: 5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66: Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68: Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70: 1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72: Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74: 1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75 and 76: v b a Figur 30: En triangel med de
Page 77 and 78: Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
Page 79 and 80: 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82: Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84: x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86: Det gäller att gränsvärdet för
Page 87 and 88: 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 89 and 90: Produktregeln Produktregeln beskriv
Page 91 and 92: Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94: Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96: a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98: Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100: På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102: 5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104:
2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106:
(b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108:
Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?