Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Vid multiplikation och subtraktion kan man göra på samma sätt. Låt oss visa exempel på det
också.
Exempel 1.23. Beräkna 12 − 7 (mod 3). Ange svaret med ett så litet icke-negativt tal som möjligt.
Lösningsförslag: Vi har att 12 ≡3 0 och 7 ≡3 1 och kan därför lösa uppgiften enligt nedan.
12 − 7 ≡3 0 − 1 ≡3 −1 + 3 ≡3 2
Observera att vi i sista steget adderade tre eftersom −1 är ett negativt tal. ⋆
Exempel 1.24. Beräkna 6 · 7 (mod 5). Ange svaret med ett så litet icke-negativt tal som möjligt.
Lösningsförslag: Vi kan antingen först beräkna 6 · 7 = 42 och sedan ta reda på vilken om är det
minsta icke-negativa heltalet kongruent med 42 modulo 5. Vi ser att 42 ≡ 2 (mod 5). Eller så kan
vi först betrakta sjuan, vi ser att 7 ≡ 2(mod 5), och sedan sexan, 6 ≡ 1(mod 5). Vi får
6 · 7 ≡5 1 · 2 ≡5 2.
Följande exempel illustrerar fördelen med att angripa faktorerna i en produkt innan vi utför
multiplikationen.
Exempel 1.25. Beräkna 38 · 41 + 43 · 36 modulo 3.
Lösningsförslag: Vi har att
Alltså är
38 = 12 · 3 + 2, 41 = 13 · 3 + 2, 43 = 14 · 3 + 1 och 36 = 12 · 3 + 0.
38 · 41 + 43 · 36 ≡ 2 · 2 + 1 · 0 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 3).
Det vi gjort i exemplen ovan bygger på följande sats, som vi lämnar obevisad.
Sats 1. Låt a vara ett positivt heltal och låt m1, m2, n1, n2 vara hela tal sådana att m1 ≡ n1 (mod a) och
m2 ≡ n2 (mod a). Då gäller följande
i) m1 + m2 ≡a n1 + n2.
ii) m1 · m2 ≡a n1 · n2.
Exempel 1.26. Vilken rest erhålls då 211 divideras med 4?
Lösningsförslag: Notera att vi kan skriva 211 som 211 = 2 · 100 + 1 · 10 + 1. Vi ser att 10 ≡4 2 och
100 = 10 · 10 ≡4 2 · 2 = 4 ≡4 0. Om vi lägger samman detta får vi att
211 = 2 · 100 + 1 · 10 + 1 ≡4 2 · 0 + 1 · 2 + 1 ≡4 3.
Exempel 1.27. Vad får jämna respektive udda tal för rest vid division med 2? Varför?
12
⋆
⋆
⋆
⋆