Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

f −1 (x) = √ x, eftersom det ju gäller att f −1 (f(x)) = f(x) = √ x 2 = x om x ≥ 0.
Istället för att krympa definitionsmängden för f(x) = x 2 så kan vi säga att f är inverterbar på
intervallet [0, ∞[. Begreppet injektivitet hänger nära samman med begreppet invers och i allmänhet
gäller det faktiskt att varje funktion f som är injektiv på ett intervall [a, b] också är inverterbar
i [a, b].
Cirkelns ekvation
Hur ska vi beskriva en cirkel med radie r med centrum i punkten (0, 0) (origo) algebraiskt? Om
(x, y) är en punkt på cirkeln så gäller det att avståndet från punkten (x, y) till origo är lika med
r. Det följer därför från Pythagoras sats att x 2 + y 2 = r 2 , vilket är cirkelns ekvation när den har
sitt centrum i punkten (0, 0). Det innebär att punktmängden som bildar cirkeln är alla punkter
(x, y) som uppfyller att x 2 + y 2 = r 2 , det vill säga {(x, y) | x 2 + y 2 = r 2 }. Det finns dock ingen
funktion f(x) så att (x, f(x)) är lika med den punktmängden. Anledningen till detta är att både
(r/ √ 2, r/ √ 2) och (r/ √ 2, −r/ √ 2) ligger på cirkeln. Vi skulle alltså behöva kräva av vår funktion
att f(r/ √ 2) antog både värdet r/ √ 2 och −r/ √ 2. Vilket inte är tillåtet.
Däremot är det möjligt att beskriva punktmängden som en union av två punktmängder som
vi kan beskriva med funktioner, nämligen f1(x) = √ r 2 − x 2 och f2(x) = − √ r 2 − x 2 , där f1 och
f2 är definierade i intervallet [−r, r]. Figur 11 visar grafen till funktionerna f1(x) = √ 1 − x 2 och
f2(x) = − √ 1 − x 2 .
1.0
0.5
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
Figur 11: Cirkel med radie 1. Den heldragna linjen är grafen till funktionen f1(x) = √ 1 − x 2 och
den streckade linjen är grafen till funktionen f2(x) = − √ 1 − x 2 .
Det är även möjligt att ge cirkelns ekvation även när centrum ligger i en annan punkt än origo.
Låt oss anta att centrum ligger i punkten (a, b). Om (x, y) är en punkt på cirkeln så gäller det att
avståndet från punkten (x, y) till punkten (a, b) är lika med r. Enligt Pythagoras sats gäller det
alltså att (x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 , vilket är cirkelns ekvation.
Exempel 3.13. Bestäm ekvationen för en cirkel som har sin medelpunkt i (1, 1) och radie √ 2
Lösningsförslag: För att en punkt (x, y) ska ligga på cirkeln så måste det gälla att (x − 1) 2 + (y −
1) 2 = ( √ 2) 2 , vilket ger oss ekvationen (x − 1) 2 + (y − 1) 2 = 2. ⋆
Kuriosa 7. Om man modifierar cirkelns ekvation kan man få andra geometriska objekt. Låt oss betrakta
mängden av alla reella tal (x, y) så att y 2 = x 3 − 4x − 1. Denna punktmängd bildar en så kallad elliptisk
kurva, ett matematiskt objekt som är intressant bland annat för sin tillämpning inom kryptografi. Som
Figur 12 visar så är punktmängden väsentligt skiljd från cirkelns punktmängd.
Några reella funktioner och dess grafer
Vi ska nu gå igenom några vanliga reella funktioner. Vi väntar med att gå igenom de trigonometriska
funktionerna till avsnitt 3.5.
55