Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

vi bestämma x-koordinaterna för skärningspunkterna. Med insättning av x-koordinaterna (i någon
av ekvationerna) kan vi även bestämma motsvarande y-koordinat.
Exempel 3.11. Bestäm de punkter i xy-planet där grafen till f(x) = x 2 + x skär grafen till h(x) = x + 4.
Lösningsförslag: Algebraiskt svarar frågan mot lösningar till ekvationen f(x) = h(x), det vill
säga lösningar till ekvationen x 2 + x = x + 4. Lösningarna till den ekvationen är x ± 2. Vi har
f(2) = 6 och f(−2) = 2, så skärningspunkterna är därför (2, 6) och (−2, 2), se även Figur 8. ⋆
12
10
8
6
4
2
3 2 1 1 2 3
Figur 8: Graferna till x 2 + x och x + 4 skär varandra i punkterna (2, 6) och (−2, 2).
Observera att det även kan hända att en linje och en parabel saknar skärningspunkter. Linjen
y = x − 1 kommer aldrig att skära parabeln y = x 2 + x eftersom ekvationen x 2 + x = x − 1, som
kan förenklas till x 2 = −1, saknar reella lösningar.
Kuriosa 6. Algebraisk geometri är ett stort forskningsområde inom matematik och handlar i grunden om
lösningar till ekvationssystem. Att kunna gå mellan algebraiska till geometriska framställningar av samma
objekt är centralt i denna disciplin.
Inversen till en funktion
Låt oss betrakta punktmängden {(x, 1) | x ∈ R}. Grafen till funktionen f(x) = 1 sammanfaller
med bilden av den punktmängden.
Det är dock inte alltid som en punktmängd faktiskt svarar mot grafen till en funktion. Låt oss
till exempel istället betrakta punktmängden {(1, b) | b ∈ R}. Om det skulle finnas en funktion f(x)
vars graf sammanfaller med bilden av punktmängden så skulle f(1) anta alla reella värden och
det är ju inte tillåtet. En funktion kan bara anta ett värde i varje punkt.
Som vi har sett tidigare är {(x, f(x)), x ∈ Df } punktmängden till funktionen f med definitionsmängd
Df , men som exemplet ovan visar så existerar det inte i allmänhet någon funktion
g vars punktmängd är {(f(x), x), x ∈ Df }. Men när det existerar en sådan funktion g, så säger
man att g är den inversa funktionen till f och vi betecknar inversen g med f −1 . Det gäller att
f −1 (f(x)) = x och att f(f −1 (x)) = x. Om f har en invers så är den unikt bestämd och man säger
att f är inverterbar. Inversbegreppet är symmetriskt, vilket innebär att om f −1 är invers till f så är
f invers till f −1 .
Det enklaste exemplet på en funktion som har en invers är f(x) = x. Den funktionen är sin
egen invers, det vill säga f −1 = f eftersom
{(x, f(x)), x ∈ R} = {(x, x), x ∈ R} = {(f(x), x), x ∈ R}.
Förstagradspolynom är i allmänhet inverterbara. Exemplet nedan visar hur man i detta fall
kan bestämma den inversa funktionen med hjälp av substitution.
Exempel 3.12. Bestäm den inversa funktionen till f(x) = 2x + 1.
53