Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

3 Funktionslära
Funktioner är matematiska objekt som klassiskt har använts för att modellera naturliga samband.
Vi ska definiera funktioner med hjälp av mängdlära och sedan studera några vanliga typer av
funktioner, bland annat polynomfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmfunktioner och trigonometriska
funktioner. Kapitlet innehåller även viss teori för olikheter och ett mindre avsnitt
om kurvritning.
3.1 Mängdlära
Begreppet mängd är fundamentalt i matematiken. Vi har redan stött på ett antal olika mängder,
till exempel mängden av positiva heltal och mängden av rationella tal. En mängd är en samling
objekt där varje objekt bara förekommer en gång. Objekten i en mängd kallas element. Vi skriver
normalt en mängd inom måsvingar.
Ett exempel på en mängd är {1, 2, 3, 4, 100}, det vill säga mängden som innehåller talen 1, 2,
3, 4 samt 100. Ett annat exempel är {0, 1/2, 3, π, 4}. Mängder kan även innehålla symboler, till
exempel är
{a, b, c, . . . , x, y, z}
en mängd. En mängd kan även innehålla mängder, så
{1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}}
är en mängd. Eventuellt tänker du nu att det sista exemplet innehåller upprepningar, vilket ju
inte får förekomma i en mängd. Men elementen i mängden är 1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4} och dessa
är ju skilda från varandra, så detta bildar verkligen en mängd.
Vi har redan stött på mängdnotationerna ∈ (tillhör) och ⊂ (delmängd) för mängder av tal. Låt
oss nu definiera dessa notationer allmänt.
För att säga att ett element ingår i en mängd så använder vi symbolen ∈. Vi har att
men
1 ∈ {1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}}
3 /∈ {1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}}.
För att säga att en hel mängd X ingår i en mängd Y så skriver vi X ⊂ Y . Detta utläses som att
X är en delmängd till Y . Till exempel så gäller det att
och
{1, 2} ⊂ {0, 1, 2, 5}
{{2, 3, 4}, a} ⊂ {1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}}.
Observera alltså att vi inte bryr oss om i vilken ordning elementen kommer i. Självklart är varje
mängd en delmängd till sig själv. Vi har alltså X ⊂ X för alla mängder X.
Snittet av mängderna X och Y skrivs som X ∩ Y och är de element som ingår i både X och Y .
Till exempel är
{1, 2, 3, 4, 5} ∩ {2, 4, 6} = {2, 4}.
Den tomma mängden som inte innehåller något element skrivs ∅. Vi har att
Observera dock att
{1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}} ∩ {2, 3, 4} = ∅.
{1, a, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}} ∩ {{2, 3, 4}} = {{2, 3, 4}}
eftersom elementet {2, 3, 4} ingår i båda mängderna.
47