Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

4
2
3 2 1 1 2 3
2
4
Figur 12: Mängden av alla (x, y) så att y 2 = x 3 − 4x − 1 på intervallet [−3, 3].
Räta linjer Liksom ett förstagradspolynom kan skrivas på formen f(x) = ax + b så ges den
räta linjens ekvation av motsvarande graf, det vill säga grafen y = ax + b. Ofta använder man
bokstäverna k och m istälelt för a och b och skriver den räta linjens ekvation som
y = kx + m.
Geometriskt anger talet k lutningen på den räta linjen, det vill säga kvoten av skillnaden i yled
med skillnaden i x-led för två godtyckliga distinkta punkter på linjen. Talet m anger den
y-koordinat där linjen skär x-axeln.
En rät linje y = kx + m bestäms godtyckligt av två distinkta punkter i planet som följande
exempel visar.
Exempel 3.14. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna (1, 2) och (−1, 1).
Lösningsförslag: Den räta linjen är på formen y = kx + m. Att den första punkten ligger på linjen
ger oss ekvationen 2 = k · 1 + m. Den andra punkten ger oss 1 = k · (−1) + m. Detta ger oss
ekvationssystemet
k + m = 2
k − m = 1.
Den första ekvationen skrivs om som k = 2 − m och insättning i den andra ekvationen ger oss
1 = −(2 − m) + m, det vill säga 3 = 2m eller m = 3/2. Vi får k = 2 − 3/2 = 1/2. Den räta linjen
ges alltså av ekvationen y = x/2 + 3/2. ⋆
Lutningen på linjen och en punkt på den räcker också för att bestämma ekvationen.
Exempel 3.15. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten (1, 1) och har lutningen −2.
Lösningsförslag: Den räta linjen är på formen y = kx + m. Att den första punkten ligger på linjen
ger oss ekvationen 1 = k · 1 + m. Att lutningen är −2 ger oss k = −2. Vi kan alltså lösa ut m som
blir lika med tre. Ekvationen är alltså y = −2x + 3. ⋆
Det finns ett intressant specialfall i den räta linjens ekvation, nämligen när k = 0, det vill säga
y = m = f(x). I detta fall är grafen till y = m parallell med x − axeln och då funktionen f(x)
inte beror på m kommer värdemängden att vara {m}. Funktionen f(x) = m är sålunda varken
injektiv eller surjektiv. För andra k-värden än 0 är dock f(x) = kx + m både injektiv och surjektiv.
Polynomfunktioner av högre grad Vi har redan sett av vi kan betrakta polynom som funktioner
från R till R. Definitionsmängden för ett godtyckligt polynom kan väljas till hela R och i allmänhet
saknar polynomfunktionerna invers.
56