Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

negativa tal kommer att saknas i värdemägnden till g och att g inte är surjektiv.
Rationella funktioner. En rationell funktion är en kvot mellan två polynom. Definitionsmängden
till en rationell funktion är hela R förutom de punkter där nämnaren är lika med noll. För den
rationella funktionen x2
x+1 är definitionsmängden {x | x ∈ R \ {−1}} = R \ {−1}. Nära de punkter
där nämnaren är lika med noll uppstår så kallade lodräta asymptoter, se Figur 15.
10
5
3 2 1 1 2 3
5
10
Figur 15: Grafen till funktionen f(x) = x2
x+1 . Nära punkten −1, där f(x) inte är definierad, har
funktionen en lodrät asymptot.
En rationell funktion är inte riktigt samma sak som ett rationellt uttryck. Båda är kvoter av
polynom, men för rationella uttryck tillåter man förenklingar.
Det rationella uttrycket
x 2 − 1
x − 1
kan skrivas om som
(x + 1)(x − 1)
x − 1
och därefter förkortas till x + 1, medan vi inte kan göra samma sak om vi betraktar
x 2 − 1
x − 1
som en funktion. I så fall skulle vi ju ändra definitionsmängden för funktionen. Med x−1 i nämnaren
kan inte 1 ingå i definitionsmängden, men för x+1 kan alla reella tal utgöra definitionsmängd.
När vi ska lösa ekvationer av typen f(x) = 0 där f(x) är en rationell funktion gör man först
en omskrivning så att man får en polynomekvation. Man måste sedan kontrollera att lösningarna
inte gör någon av de ingående nämnarna till noll.
Exempel 3.16. Lös ekvationen
1 1
+ + 1 = 0.
x x + 1
Vi börjar med att göra liknämnigt och får vänsterledet till
x + 1
x(x + 1) +
x x(x + 1)
+
x(x + 1) x(x + 1)
Vi multiplicerar sedan med x(x + 1) i båda led och får ekvationen
x + 1 + x + x(x + 1) = 0,
58