Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

2. Visa med hjälp av faktorsatsen (utan att utföra polynomdivision) att p(x) = x 3 − 6x + 4 är
delbart med (x − 2).
3. Lös ekvationen x 3 + x 2 − 2x − 2 = 0 med hjälp av faktorsatsen.
4. Finn alla heltalslösningar till x 4 − 2 5 x 2 + 9.
5. Bestäm de värden på konstanten k för vilka polynomet p(x) = x 3 − kx + k 2 är delbart med
(x + 2) och ange kvoten.
6. Finn alla rationella rötter till ekvationen 8x 3 + 2x 2 − x − 1 = 0.
7. Finn alla rötter till ekvationen (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) = 0.
2.3 Kombinatorik
Kombinatorik är den del av matematiken där man bland annat pratar om olika sorters urval.
Multiplikationsprincipen
Vi börjar avsnittet med att förklara multiplikationsprincipen med ett exempel.
Exempel 2.18. Anna har tre tröjor och fyra par byxor. På hur många olika sätt kan hon klä sig?
Lösningsförslag: Valet av tröja är oberoende av valet av byxor. Vilken tröja Anna ska ha på sig kan
hon välja på tre sätt och byxorna hon ska ha på sig kan hon välja på fyra sätt. För varje val av tröja
finns fyra val av byxor. Anna kan klä sig på 3 · 4 sätt. ⋆
Mer allmänt gäller:
Antag att vi ska göra k val oberoende av varandra och att det i:te valet kan göras på
mi sätt. Då är det totala antalet valmöjligheter enligt multiplikationsprincipen
m1 · m2 · m3 · · · mk−1 · mk.
Exempel 2.19. Stryktips går ut på att man gissar hur 13 fotbollsmatcher slutar (vinst, förlust eller oavgjort).
Hur många möjliga stryktipsrader finns det?
Lösningsförslag: Varje rad kan tippas på tre sätt och alla rader är oberoende av varandra. Enligt
multiplikationsprincipen finns
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 13 = 1594323
stryktipsrader. Vi använde alltså multiplikationsprincipen med k = 13 och m1 = m2 = . . . =
m13 = 3. Detta var alltså ett specialfall av multiplikationsprincipen då alla mi :n var lika. ⋆
I Kapitel 1 studerade vi begreppet positiv delare till naturliga tal. Vi såg bland annat att 520,
som kan primtalsfaktoriseras som 2 3 ·5·13, hade 16 positiva delare. Vi såg även att delarna till 520
är på formen 2 a ·5 b ·13 c , där 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 1 och 0 ≤ c ≤ 1. För exponenten a har vi alltså fyra
val (0,1,2,3) och för exponenterna b och c har vi två val (0, 1) var. Enligt multiplikationsprincipen
är antalet delare därför lika med 4 · 2 · 2 = 16.
Exempel 2.20. Bestäm antalet delare till talet 516.
Lösningsförslag: Vi har 516 = 2 · 258 = 2 · 2 · 129 = 2 · 2 · 3 · 43 = 2 2 · 3 · 43. Antalet delare är därför
3 · 2 · 2 = 12. ⋆
Exempel 2.21. Bestäm antalet delare till talet 2 5 · 3 4 · 17 9 .
Lösningsförslag: Enligt multiplikationsprincipen är antalet delare lika med 6 · 5 · 10 = 300. ⋆
38