Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

vilken vi kan skriva om som
x 2 + 3x + 1 = 0
med lösningarna −3±√5 2 , som inte gör någon av nämnarna till noll. Alltså är −3±√5 2
ekvation.
lösningar till vår
Exponentialfunktioner. En exponentialfunktion är en funktion på formen f(x) = a x , där a är
ett positivt reellt tal. De vanligaste exponentialfunktionerna är 2 x , 10 x och e x , där e är ett reellt tal
som har egenskapen att e x är sin egen derivata (se nästa kapitel). Talet e är ungefär lika med 2.718
och exakt lika med den oändliga summan
∞
j=0
1
1 1 1
= 1 + 1 + + + + · · · .
j! 2 6 24
Symbolen ∞ är en matematisk beteckning av oändligheten och notationen ∞ j=0 1
j! innebär alltså
att vi ska lägga ihop alla termer på formen 1/j!, där j är ett naturligt tal.
Definitionsmängderna för de tre exponentialfunktionerna är hela R och värdemängden är de
positiva reella talen. Exponentialfunktionernas snabba tillväxt benämns exponentiell tillväxt .
Logaritmfunktioner. Exponentialfunktionerna är inverterbara. Inversen till en exponentialfunktion
kallas logaritmfunktion. Definitionsmängden till en logaritmfunktion är de positiva reella talen.
Mer precist är 2-logaritmen, betecknad log 2(x), inversen till 2 x , 10-logaritmen är inversen till
10 x och den naturliga logaritmen, betecknad ln x, är inversen till e x .
Det gäller alltså att e ln x = x där ln x är definierat och ln e x = x där e x är definierat. I Figur 16
visas grafen för e x och ln x i intervallet [1, 3].
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figur 16: Den övre kurvan är grafen till funktionen e x och den undre kurvan är grafen till funktionen
ln x på intervallet [1, 3]. Den sträckade linjen är grafen till f(x) = x. Lägg märke till att de
två första graferna är varandras spegelbilder i den linjen. Detta gäller alltid för en funktion och
dess invers.
Kanske har du stött på de så kallade logaritmlagarna som beskriver hur man räknar med logaritmer.
Dessa är
log(ab) = log a + log b
log a b = b log a
59