Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

6
4
2
6 4 2 2 4 6
2
4
6
Figur 37: Grafen för funktionen f(x) = tan x på intervallet [−2π, 2π] minus punkterna
−3π/2, −π/2, π/2, 3π/2 och 5π/2 där tan x är odefinierad.
v som uppfyller sin v = 1
2 . En sådan är π/6. Vi måste också komma ihåg att sin v = sin(π − v)
vilket innebär att även v = 5π/6 är en lösning till ekvationen. Slutligen får vi inte glömma att
sin v = sin(v + n · 2π), där n är ett heltal. Alltså får vi att samtliga lösningar till ekvationen ges av
vilket är
π/6 + n · 2π och 5π/6 + n · 2π,
30 ◦ + n · 360 ◦ och 150 ◦ + n · 360 ◦
uttryckt i grader. ⋆
Exempel 3.44. Hur många lösningar har ekvationen cos v = 1
2 i intervallet [π, 3π]?
Lösningsförslag: Sen tidigare vet vi att en lösning till ekvationen är π/3. Eftersom cos v = cos(−v)
så är även −π/3 en lösning. De allmänna lösningarna till ekvationen är alltså ±π/3 + 2nπ. Om
n = 1 så ger det oss lösningarna π/3 + 2π och 2π − π/3, vilka ligger i det aktuella intervallet. Om
n ≤ 0 eller n ≥ 2 så hamnar lösningarna utanför intervallet. Antalet lösningar är därför 2. ⋆
Exempel 3.45. Bestäm samtliga lösningar till ekvationen cos 2 v − 3 cos v/2 + 1/2 = 0.
Lösningsförslag: Vi börjar med att sätt y = cos v. Detta ger oss ekvationen y 2 − 3y/2 + 1/2 = 0
som har lösningarna y = 1/2 och y = 1. Från den föregående uppgiften vet vi att cos v = 1/2 har
lösningarna ±π/3+2nπ. Ekvationen cos v = 1 har lösningarna v = 2π. Lösningarna till ekvationen
ges alltså av ±π/3 + n · 2π och 2nπ ⋆
Period, amplitud och fasförskjutning. Nu ska vi titta på funktioner av typen A sin(Bx − C)
och A cos(Bx − C), där A, B och C är konstanter. Vi väljer att mäta vinklarna med grader genom
hela detta kapitel. Vi har tidigare pratat om perioden av sin x och cos x. Vi ska nu se vad som
händer med perioden om vi istället undersöker funktioner av typen sin(Bx) och cos(Bx). Vi börjar
med att betrakta sin x och sin 2x för att jämföra dem. Vi vet sedan tidigare att sin x har perioden
360◦ vilket innebär att sinuskurvan upprepar sig efter 360◦ . De båda kurvorna sin x och sin 2x är
uppritade i Figur 38.
Vi ser att sin 2x upprepar sig redan efter 180◦ . Och det visar sig att sin 2x har perioden 180◦ .
Allmänt gäller att sin(Bx) och cos(Bx) har perioden 360◦
B . I Figur 38 ser vi också att funktionen
sin x antar värden mellan -1 och 1. Man säger att sin x har amplitud 1. Vi jämför nu sin x med
2 sin x, se Figur 39.
79