Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5
Figur 51: Funktionen f(x) = −x 2 + |x| + 2 på intervallet [−2, 1/4].
(a) f(x) = x2 + 2x cos x
sin x
(b) f(x) = e
(c) f(x) = (2x + 4) 10
5. Finn minsta och största värde som följande funktioner antar i intervallet [−10, 10]:
(a) 10 − 2x − x 2
(b) |x − 2| + x 2 − 4x
4.3 Integraler
För att uppskatta en area A i planet som begränsas av en positiv graf och ett intervall [a, b] på
x-axeln kan vi ta hjälp av inskrivna och omskrivna rektanglar. Dessa rektanglar brukar kallas för
övre och undre rektanglar, se Figur 52.
Låt f vara en funktion som är begränsad i intervallet [a, b]. Detta betyder att f(x) < ∞ för alla
x ∈ [a, b]. Till exempel är alla polynom begränsade i [a, b] oavsett värde på a och b.
Låt oss nu dela upp intervallet [a, b] i n stycken delar. Indelningen kan till exempel skrivas
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, så att xi är den högra ändpunkten i det i:te intervallet från
vänster räknat. Vi får då att det ite intervallet ges av [xi−1, xi] och har längden xi − xi−1 = ∆xi.
Exempel 4.12. Om vi delar upp intervallet [1, 2] i fem lika stora delar får vi
x0 = 1, x1 = 1.2 x2 = 1.4, x3 = 1.6, x4 = 1.8 och x5 = 2.
Beteckna det största funktionsvärdet i intervallet [xi−1, xi] med Mi och det minsta funktionsvärdet
i samma intervall med mi. Då kommer den övre rektangeln i det i:te intervallet att ha arean
Mi · ∆xi och den undre rektangeln i samma intervall att ha arean mi · ∆xi.
Vi erhåller den så kallade översumman och undersumman som
n
n
Mi∆xi respektive sn = mi∆xi.
Sn =
i=1
94
i=1
3
2
1
1
2
3