Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Lösningsförslag: Vi delar upp problemet i flera fall, nämligen x ≥ 5 och x < 5 eftersom vid x = 5
är uttrycket i absolutbeloppet 0.
Fall x ≥ 5: Här är det inom absolutbeloppet positivt och vi ersätter absolutbeloppet med
parenteser. Vi får att (x − 5) ≥ 3 vilket ger oss x ≥ 8. Alla dessa x uppfyller även att x ≥ 5, vilket
var en förutsättning för det här fallet. Alltså är x ≥ 8 giltiga lösningar.
Fall x < 5: Nu får vi istället −(x − 5) ≥ 3, vilket efter multiplikation med −1 i båda leden ger
x − 5 ≤ −3. Slutligen får vi då att x ≤ 2. Vi får då att x ≤ 2 ger giltiga lösningar, dessa uppfyller
ju också förutsättningarna att x < 5.
Lösningsmängden ges av x ≤ 2 och x ≥ 8. ⋆
Övningar
1. Lös följande olikheter
(a) 3x + 6 > x − 8
(b) x 2 + 2x > 3
(c) (x − 2)(x 2 + 4x + 4) ≥ 0
2. Låt f och g vara två reella funktioner definierade av f(x) = x 2 + x − 2 och g(x) = 1 − 2x.
Bestäm alla skärningspunkter mellan f : s och g : s grafer. Rita graferna i samma figur. För
vilka x är f(x) > g(x)?
3.5 Trigonometri
Trigonometri används för att beräkna avstånd och vinklar. Vi börjar med en kort repetition om
rätvinkliga trianglar.
Rätvinkliga trianglar
En rätvinklig triangel är en triangel med en rät vinkel, alltså en vinkel på 90 ◦ . Ett exempel på en
rätvinklig triangel ser vi i figur 18.
v
Figur 18: En rätvinklig triangel. Sidan c är triangelns hypotenusa, medan sidan a och b är triangelns
katetrar. Den räta vinkeln finns mellan sidorna a och b.
Vinkelsumman, det vill säga summan av de tre vinklarna i en triangel, är 180 ◦ . De sidor som
bildar en rät vinkel mot varandra, sidorna a och b i figuren ovan, kallas katetrar och den tredje
sidan, c, kallas för hypotenusan i triangeln. Vi gör även skillnad mellan de båda kateterna. När
vi betraktar vinkeln v säger vi att a är den närliggande kateten och b den motstående. För en
65
c
a
b