Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

1.8 Komplexa tal
Man kan tycka att de reella talen, R, är alla tal man någonsin skulle behöva här i livet. Men på
1500-talet insåg man att man behövde uppfinna ett nytt slags tal för att kunna lösa vissa ekvationer
och man införde de komplexa talen .
Varje komplext tal z består av en reell del och en imaginär del och z kan skrivas som a + bi,
där a och b är reella tal och i är den imaginära enheten. Den imaginära enheten i har egenskapen
att i 2 = −1, vilket är precis det som krävs för att vi ska kunna lösa ekvationen x 2 = −1.
Varje komplext tal a + bi svarar alltså mot ett par (a, b) av reella tal. Vi kallar a för realdelen, och
b för imaginärdelen. Realdelen av ett komplext tal z skrivs Re(z), och imaginärdelen skrivs Im(z).
Exempel 1.47. Låt z = 1
1
+ 5i. Då är Re(z) = och Im(z) = 5.
4 4
Bildligt talat kan man säga att när man inför de komplexa talen så lägger man till en ny dimension.
De reella talen kan representeras på en tallinje, medan de komplexa talen kan framställas i
ett talplan, där realdelen är x-koordinaten och imaginärdelen är y-koordinaten.
53i
3i
im aginärdel
6
4
2
4i
22i
34i
43i
6 4 2 2 4 6 realdel
2
4
6
Figur 1: Här är det komplexa talplanet med några komplexa tal utmärkta.
Mängden av alla komplexa tal skrivs C. Observera att de komplexa tal vars imaginärdel är 0,
kommer vara de vanliga reella talen, R. Detta innebär att R ⊂ C. Vi har alltså
Z+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
När man adderar komplexa tal så adderar man realdelarna och imaginärdelarna för sig,
(a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i,
där a1, a2, b1, b2 är reella tal. Subtraktion behandlas på liknande sätt och vi har
(a1 + ib1) − (a2 + ib2) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i.
Så här långt så är det inte så märkligt. Men när vi ska multiplicera två komplexa tal a1 + ib1
och a2 + b2i så får vi
(a1 + ib1) · (a2 + ib2) = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 + i 2 b1b2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
22