Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

På samma sätt har vi
sin 5x dx =
och
− cos 5x
5
6e 2x dx = 3e 2x + C.
I enklare fall som ovan går det bra att använda magkänslan och prova sig fram. Eftersom man
kan derivera sitt svar går det enkelt att kontrollera att man tänkt rätt. Men om funktionen är mer
komplicerad måste man vara lite mer systematisk.
När integranden är på formen f(g(x)) · g ′ (x) så kan vi använda oss av kedjeregeln baklänges.
Låt F (x) beteckna en primitiv till f(x). Vi vet att
+ C.
d
dx F (g(x)) = F ′ (g(x)) · g ′ (x) = f(g(x)) · g ′ (x).
Genom att integrera båda sidor får vi
d
F (g(x)) dx =
dx
f(g(x)) · g ′ (x) dx.
Men
d
F (g(x)) dx = F (g(x)) + C
dx
eftersom integral och derivata är varandras motsatser.
Vi har alltså visat att
F (g(x)) + C = f(g(x)) · g ′ (x) dx.
Exempel 4.22. Bestäm 2x · (x 2 − 1) 5 dx.
Lösningsförslag: Vi kan skriva integranden på formen g ′ (x)f(g(x)), med g(x) = x2 −1, f(x) = x5 och g ′ (x) = 2x. Alltså gäller det att D[F (g(x))] = g ′ (x)f(g(x)) där F (x) är x6
6 . Det följer alltså att
2 5 1
2x(x − 1) dx =
Exempel 4.23. Bestäm x · sin x 2 dx.
6 (x2 − 1) 6 + C. ⋆
Lösningsförslag: Vi har noterat att D[x2 ] = 2x. Om vi sätter g(x) = x2 och f(x) = sin x så
överensstämmer x · sin x2 med f(g(x)) · g ′ (x) = sin x2 · 2x så när som på en faktor 2. Det gäller
alltså att
Eftersom
så är
x · sin x 2 ′ f(g(x)) · g (x)
dx =
dx.
2
f(g(x)) · g ′ (x) = F (g(x)) + C = − cos x 2 + C
x · sin x 2 dx = − cos x2 + C
.
2
cos x2
Eftersom konstanten C är godtycklig kan vi också svara − 2 + C.
Exempel 4.24. Bestäm sin 3 x · cos x dx.
99
⋆