Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Exempel 1.55. Låt z = 4 + i. Då är ¯z = 4 − i och z · ¯z = 4 2 + 1 2 = 17.
Låt nu z vara ett nollskilt komplext tal och skriv z = a + bi. Vi ska visa hur man kan skriva om
1/z på formen c + di, där c och d är reella tal. Idén är att förlänga bråket 1/z med konjugatet.
1 1 · ¯z
=
z z · ¯z =
¯z
(a 2 + b 2 ) =
a
a2 −
+ b2 b
a2 i.
+ b2 Vi har alltså lyckats skriva 1/z på formen c + di där c = a/(a 2 + b 2 ) och d = −b/(a 2 + b 2 ).
Exempel 1.56. Skriv 1/(2 + 3i) på formen a + bi, där a och b är reella tal.
Lösningsförslag: Konjugatet till 2 + 3i är 2 − 3i. Vi förlänger bråket med konjugatet och får
1
2 + 3i =
2 − 3i 2 − 3i
=
(2 + 3i) · (2 − 3i) 22 2 − 3i 2 − 3i 2 3
= = = −
− (3i) 2 4 + −(−9) 4 + 9 13 13 i.
Nästa exempel visar att vi även kan skriva ett komplext tal z/w på formen a + bi.
Exempel 1.57. Skriv (4 + i)/(1 + √ 2i) på formen a + bi.
Lösningsförslag: Konjugatet till 1 + √ 2i är 1 − √ 2i. Vi förlänger bråket med konjugatet och får
Övningar
= 4 + i − 4√ 2i + √ 2
1 − (−2)
4 + i
1 + √ 2i = (4 + i)(1 − √ 2i)
(1 + √ 2i)(1 − √ 2i) = 4 + i − 4√2i − √ 2i · i
1 − ( √ 2i) 2
= 4 + √ 2 + (1 − 4 √ 2)i
3
1. Beräkna 1002 · 998. Tips: Använd konjugatregeln.
2. Förkorta följande uttryck så långt som möjligt.
(a) x + x2 + xy
1 + x + y
(b)
(c)
x 2 − y 2
x 2 + 2xy + y 2
25 − x2
x − 5
3. Låt z = 3 + 4i. Beräkna z · ¯z.
4. Skriv (4 + i)/(1 − i) på formen a + bi.
26
= 4 + √ 2
3
+ 1 − 4√2 i.
3
⋆
⋆