Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

Det finns flera sätt att beteckna derivatan av y = f(x): Derivator av kända funktioner f ′ (x) och D [f(x)] . Nedan visas derivator att våra vanligaste funktioner; konstanta funktioner, polynom, trigonometriska funktioner, exponentialfunktioner och logaritmfunktioner. Exempel 4.1. funktion derivata k 0 sin x cos x cos x − sin x e x e x ln x 1 x x n nx n−1 D[2] = 0, D[x] = 1, D[x 10 ] = 10x 9 , D[x 3/2 ] = 3 2 x1/2 , D[1/x] = D[x −1 ] = −1·x −2 = −1/x 2 Exempel 4.2. Visa med hjälp av derivatans definition att derivatan av x 2 är 2x. Lösningsförslag: Vi har alltså f(x) = x 2 och vi ska bestämma f ′ (x). Enligt derivatans definition är Eftersom f(x) = x 2 så är f(x + h) − f(x) h f ′ (x) = lim h→0 = x2 + 2hx + h 2 − x 2 h När h närmar sig noll går 2x + h mot 2x, så f(x + h) − f(x) . h = 2hx + h2 h = ✁h(2x + h) ✁h f ′ f(x + h) − f(x) (x) = lim = lim 2x + h = 2x, h→0 h h→0 = 2x + h. precis vad vi skulle visa. ⋆ För att bevisa att derivatan av x n är nx n−1 för ett godtyckligt n kan man använda binomialsatsen. För att visa att derivatan av sin x är lika med cos x använder man ett samband som inte ingår i <strong>kurs</strong>en, nämligen sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Derivatan av summor av funktioner Det gäller att derivatan av en summa av funktioner är densamma som summan av funktionernas derivator, vilket är mycket hjälpsamt vid beräkning av derivator. Mer precist så gäller det att Exempel 4.3. D[f(x) + g(x)] = D[f(x)] + D[g(x)] och D[af(x)] = aD[f(x)] för a ∈ R. D[sin x + x 2 + 4x 4 ] = D[sin x] + D[x 2 ] + 4D[x 4 ] = cos x + 2x + 16x 3 . 88
Produktregeln Produktregeln beskriver hur man deriverar produkten av två funktioner: D [f(x) · g(x)] = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x) Exempel 4.4. Vad blir derivatan av funktionen f(x) = x 2 · sin x i punkten x = π? Lösningsförslag: Låt g(x) = x 2 och låt h(x) = sin x. Då får vi D(f(x)) = D(g(x)h(x)) = g ′ (x)h(x) + g(x)h ′ (x) = 2x sin x + x 2 cos x enligt produktregeln. Alltså är f ′ (π) = −π 2 . ⋆ Exempel 4.5. Vad blir derivatan av funktionen f(x) = e x · ln x? Lösningsförslag: Låt g(x) = e x och låt h(x) = ln x. Då får vi D(f(x)) = D(g(x)h(x)) = g ′ (x)h(x) + g(x)h ′ (x) = e x · ln x + ex x enligt produktregeln. ⋆ Produktregeln visar man med hjälp av definitionen på derivata och gränsvärdesformler. Kedjeregeln. Kedjeregeln beskriver hur man deriverar en sammansatt funktion: D [f (g(x))] = f ′ (g(x)) · g ′ (x) Man kallar f(x) för den yttre funktionen och g(x) för den inre funktionen. Regeln minns man då lättast genom att tänka “yttre derivatan gånger inre derivatan”. Exempel 4.6. Bestäm derivatan av funktionen f(x) = sin x 2 . Lösningsförslag: Låt g(x) = sin x och låt h(x) = x 2 . Då är f(x) = g(h(x)). Enligt kedjeregeln blir derivatan D(f(x)) = D(g(h(x)) = g ′ (h(x)) · h ′ (x) = cos x 2 · 2x. Exempel 4.7. Bestäm derivatan av funktionen f(x) = (x 2 + 5) 10 i punkten x = 0. Lösningsförslag 1: Låt g(x) = x 10 och låt h(x) = x 2 + 5. Då är f(x) = g(h(x)). Enligt kedjeregeln blir derivatan D(f(x)) = D(g(h(x)) = g ′ (h(x)) · h ′ (x) = 10(x 2 + 5) 9 · 2x och vi får f ′ (0) = 10(0 2 + 5) 9 · 2 · 0 = 0. ⋆ Lösningsförslag 2: En annan möjlig lösning är att utveckla (x 2 + 5) 10 med binomialsatsen och sedan derivera polynomet termvis. Men det blir givetvis otroligt mycket räkningar. ⋆ För den intresserade läsaren ska vi nu genomföra beviset av kedjeregeln. Vi kallar g(x) för y, och vi använder ∆x för att beteckna en liten skillnad på x. Då gäller det att en liten skillnad på x ger oss en liten skillnad på y, förutsatt att g är kontinuerlig . Vi ska inte gå in på detaljer, men 89 ⋆
Page 1 and 2:
Förberedande kurs i matematik Alex
Page 3 and 4:
Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva h
Page 5 and 6:
1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 7 and 8:
Potenser För att lättare hantera
Page 9 and 10:
Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12:
Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13 and 14:
Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 15 and 16:
Övningar 1. Konvertera 34 till bas
Page 17 and 18:
Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20:
4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22:
Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24:
genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26:
Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28:
2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30:
Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32:
Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34:
2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35 and 36:
Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 37 and 38: det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51 and 52: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 53 and 54: vi bestämma x-koordinaterna för s
Page 55 and 56: f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58: När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60: vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62: Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64: 5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66: Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68: Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70: 1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72: Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74: 1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75 and 76: v b a Figur 30: En triangel med de
Page 77 and 78: Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
Page 79 and 80: 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82: Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84: x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86: Det gäller att gränsvärdet för
Page 87: 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 91 and 92: Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94: Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96: a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98: Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100: På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102: 5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104: 2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106: (b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108: Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?