Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Så vilka operationer kan vi utföra på en ekvation och fortfarande ha ekvivalens? Vi kan utföra
multiplikation och division med tal;
x 2 + x = 1 + 2x ⇔ 2 · (x 2 + x) = 2 · (1 + 2x),
och vi kan utföra addition och subtraktion med tal och med polynom;
x 2 + x = 1 + 2x ⇔ (−2x − 1) + (x 2 + x) = (−2x − 1) + (1 + 2x).
Ibland behöver man säga att flera påståenden är sanna samtidigt, till exempel “det regnar och
det blåser”. I det logiska språket skriver man ∧ när man menar och. Påståendet x ≥ 0 ∧ x ≤ 0
säger alltså att x är större eller lika med noll, samtidigt som x är mindre eller lika med noll. Den
enda möjligheten är då att x = 0. Vi kan då sluta oss till att
x ≥ 0 ∧ x ≤ 0 ⇔ x = 0
och det är precis så man använder logik. Om man istället vill att minst ett av påståendena
ska vara sant, använder man eller, vars matematiska symbol är ∨. Som ett exempel får vi att
påståendet
x > 3 ∨ x < 2
är sant för alla x som antingen är mindre än två eller större än tre.
Övningar
1. Bestäm alla reella lösningar till ekvationen x − √ x = 3/4.
2. Bestäm alla reella lösningar till ekvationen √ x = −2.
3. Bestäm alla reella lösningar till ekvationen √ 4x − 8 + 2 = x.
4. Bestäm vilka påståenden som är sanna nedan för x, y ∈ R:
(a) x ≥ 1 ⇒ x ≥ 0
(b) x ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
(c) x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ⇒ x · y ≥ 0
(d) (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0) ⇔ x · y ≥ 0
46