Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Det gäller att gränsvärdet för f(x) när x går mot plus/minus oändligheten verkligen är två,
och detta skriver vi som
2x
lim
x→∞
2 − 1
x2 2x
= 2 och lim
+ 1 x→−∞
2 − 1
x2 = 2.
+ 1
Låt oss ge ett bevis av detta. Vi börjar med att dela båda täljare och nämnare med x 2 , vilket är
tillåtet eftersom vi inte är intresserade av funktionens värde i nollan. Vi får
2x 2 −1
x 2
x 2 +1
x 2
= 2 − 1
x2 1 + 1
x2 .
Om vi låter x gå mot plus eller minus oändligheten kommer 1
x 2 att gå mot noll. Det gäller alltså
att
2 −
lim
x→∞
1
x2 1 + 1
x2 Gränsvärden då x närmar sig ett ändligt tal
= 2 − 0
2 −
= 2 och lim
1 + 0 x→−∞
1
x2 1 + 1
x2 = 2 − 0
= 2.
1 + 0
Att x går mot ett ändligt tal a skriver vi som som x → a. Om man vill säga att f(x) närmar sig L
då x → a så skriver man
lim f(x) = L.
x→a
Om f(x) har gränsvärdet L då x → a så menar man underförstått att f(x) har samma gränsvärde
oberoende av om x närmar sig a från höger eller från vänster på tallinjen.
Betrakta den rationella funktionen
se Figur 46. Vi ska nu beräkna gränsvärdet
f(x) = x3 − 3x2 + 2x
,
x − 2
lim
x→2 f(x).
Eftersom nämnaren är noll när x = 2 så är f odefinierad i den punkten. Studerar vi grafen till
f så ser det ut som att vi skulle kunna definiera f(2) som 2.
Vi provar med att faktorisera täljaren. Först noterar vi att x 3 − 3x 2 + 2x = x(x 2 − 3x + 2) och
med kvadratkomplettering kan vi skriva om x 2 − 3x + 2 som (x − 1)(x − 2). Det gäller alltså att
f(x) = x3 − 3x 2 + 2x
x − 2
= x(x − 1)(x − 2)
.
x − 2
Nu kan det vara lockande att dela både nämnare och täljare med x − 2, men
x(x − 1)(x − 2)
x − 2
definierar endast samma funktion om x är skild från 2.
Däremot är
och x(x − 1)
x
lim
x→2
3 − 3x2 + 2x
= lim x(x − 1)
x − 2 x→2
eftersom x endast närmar sig värdet 2, men aldrig antar detta värde.
Själva gränsövergången blir inte svår. Vi får
Vi har alltså visat att limx→2 f(x) = 2.
lim x(x − 1) = 2(2 − 1) = 2.
x→2
85