Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

just talet tio härstammar från att vi har tio fingrar. Naturligtvis är 3526 inte alls samma som 5362, siffrornas position är betydande för talets värde och varje position motsvarar en viss potens av talet tio. Därför kallas vårt sätt att representera tal för positionssystemet med bas 10. Allmänt så representerar vi heltal i bas tio enligt följande: snsn−1 . . . s1s0 = sn · 10 n + sn−110 n−1 + · · · + s1 · 10 1 + s0 · 10 0 Här är sn, sn−1, . . . , s1, s0 siffrorna i talet. Exempel 1.30. För talet 3526 är s3 = 3, s2 = 5, s1 = 2 och s0 = 6. (1.5.1) Tanken är att representationen ska vara unik, varje tal ska bara kunna skrivas på ett enda sätt. Detta för att helt enkelt undvika förvirring. Därför måste det gälla för siffrorna si att 0 ≤ si ≤ 9. Men förutom att tio är antalet fingrar vi har på händerna så är det inget speciellt med detta tal. I det här avsnittet ska vi gå igenom hur vi kan representera tal i positionssystemet med bas 2. En dator lagrar sin data i positionssystemet med bas 2. Positionssystemet med bas 2 kallas oftast för det binära talsystemet. Heltal i det binära talsystemet Om vi använder basen två i vårt talsystem så skulle talet 28 representeras på följande sätt. Representation i bas 2: 1 1 1 0 0 Positionsvärde: 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Talets värde: 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 0 · 2 0 = 28 Vi skriver detta som att 2810 = 111002. I fortsättningen kommer vi inte att skriva ut 10:an för att markera att vi använder det decimala talsystemet, utan nöjer oss med att skriva 28 = 111002. Observera att i bas 2 använder vi bara två siffror, 0 och 1. Vi kan se det som att vi har 28 enkronor och växlar dessa till mynt med valörerna 1, 2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , . . . och sedan anger hur många mynt vi har av varje myntsort. I allmänhet så representeras tal i bas 2 som följer. Hur ett heltal skrivs i bas 2 Representation i bas 2: . . . s4 s3 s2 s1 s0 Positionsvärde: . . . 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Talets värde: · · · + s4 · 2 4 + s3 · 2 3 + s2 · 2 2 + s1 · 2 1 + s0 · 2 0 Exempel 1.31. Skriv 18 i bas 2. Lösningsförslag: Vi börjar med att se efter vilken tvåpotens som är den största som är mindre (eller lika med) 18. Vi ser att 2 5 = 32 är för stort (32 > 18). Däremot funkar 2 4 = 16 alldeles utmärkt. Vi har nu bara en tvåa kvar att konvertera eftersom 18 − 16 = 2. Vi använder då att 2 1 = 2 och ser att vi kan skriva 18 i bas 2. Vi får 18 = 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 100102. Om man har ett tal skrivet i bas 2 kan man så klart också skriva om det i bas 10. Man använder helt enkelt samma metod fast baklänges. Låt oss illustrera detta med ett exempel. Exempel 1.32. Konvertera 1102 till bas 10. Lösningsförslag: Vi skriver först om 1102 i tvåpotenser och beräknar sedan 1102 = 1 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 4 + 2 + 0 = 6. 14 ⋆ ⋆
Övningar 1. Konvertera 34 till bas 2. 2. Konvertera 11012 till bas 10. 1.6 Rationella tal Vi har nu tagit upp de positiva heltalen Z+, de naturliga talen N och heltalen Z. Vi har även studerat moduloräkning och talrepresentationer. Nästa steg på vägen är de rationella talen. Om a och b är två heltal så kommer lösningen till ekvationen alltid att vara ett heltal eftersom a + x = b x = b − a och heltalen ju är slutna under subtraktion. Men vad händer om vi vill lösa ekvationen a · x = b där a och b är heltal? Är x ett heltal? Givetvis kan x vara ett heltal, exempelvis om a = 4 och b = 12 så är x = 12/4 = 3. Men om a = 12 och b = 4 så erhåller vi x genom att dividera båda leden i ekvationen 12 · x = 4 med 4, så x = 4/12 = 1/3. Detta är ett bråktal, eller ett rationellt tal som vi kommer att kalla det i fortsättningen. Ett godtyckligt rationellt tal kan skrivas på formen a b , där a och b är heltal och b = 0. Talet a i det rationella kallas täljare och b kallas nämnare. talet a b Bland de rationella talen kan man alltid hitta lösningen till ekvationen b · x = a för två heltal a och b där b = 0. Begreppet rationellt tal är besläktad med den engelska termen ratio som betyder förhållande. Kanske är du redan av uppfattningen att heltal i själva verket är specialfall av rationella tal, och så är det ju, eftersom varje heltal a kan skrivas som a/1. Man betecknar mängden av alla rationella tal med Q, efter det engelska ordet quotient som betyder kvot. Det gäller därför att mängden av heltal är en delmängd till mängden av rationella tal, vilket vi ju som bekant uttrycker som Z ⊂ Q. När vi löste ekvationen 12x = 4 så utnyttjade vi att 4 4 = = ✁4 1 = 12 3 · 4 3 · ✁4 3 . Vi säger att 1/3 är skrivet på förkortad form. Att vi inte kan förkorta bråket 1/3 mer beror på att 1 och 3 saknar gemensamma delare (förutom 1). Så för att hitta den förkortade formen av ett bråk a/b kan vi primtalsfaktorisera både a och b. När vi väl har funnit primtalsfaktoriseringen kan vi förkorta bråket så att de inte längre har gemensamma delare. Exempel 1.33. Förkorta 90/105. Lösningsförslag 1: Vi har att 90 = 2 · 3 2 · 5 och att 105 = 3 · 5 · 7, så 90 105 = 2 · 3 · ✁3 · ✁5 2 · 3 6 = = ✁3 · ✁5 · 7 7 7 . 15
Page 1 and 2: Förberedande kurs i matematik Alex
Page 3 and 4: Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva h
Page 5 and 6: 1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 7 and 8: Potenser För att lättare hantera
Page 9 and 10: Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12: Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13: Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 17 and 18: Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20: 4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22: Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24: genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26: Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28: 2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30: Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32: Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34: 2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35 and 36: Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 37 and 38: det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51 and 52: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 53 and 54: vi bestämma x-koordinaterna för s
Page 55 and 56: f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58: När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60: vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62: Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64: 5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66:
Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68:
Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70:
1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72:
Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74:
1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75 and 76:
v b a Figur 30: En triangel med de
Page 77 and 78:
Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
Page 79 and 80:
6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82:
Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84:
x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86:
Det gäller att gränsvärdet för
Page 87 and 88:
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 89 and 90:
Produktregeln Produktregeln beskriv
Page 91 and 92:
Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94:
Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96:
a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98:
Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100:
På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102:
5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104:
2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106:
(b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108:
Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?