Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

just talet tio härstammar från att vi har tio fingrar. Naturligtvis är 3526 inte alls samma som 5362,
siffrornas position är betydande för talets värde och varje position motsvarar en viss potens av
talet tio. Därför kallas vårt sätt att representera tal för positionssystemet med bas 10.
Allmänt så representerar vi heltal i bas tio enligt följande:
snsn−1 . . . s1s0 = sn · 10 n + sn−110 n−1 + · · · + s1 · 10 1 + s0 · 10 0
Här är sn, sn−1, . . . , s1, s0 siffrorna i talet.
Exempel 1.30. För talet 3526 är s3 = 3, s2 = 5, s1 = 2 och s0 = 6.
(1.5.1)
Tanken är att representationen ska vara unik, varje tal ska bara kunna skrivas på ett enda sätt.
Detta för att helt enkelt undvika förvirring. Därför måste det gälla för siffrorna si att 0 ≤ si ≤ 9.
Men förutom att tio är antalet fingrar vi har på händerna så är det inget speciellt med detta
tal. I det här avsnittet ska vi gå igenom hur vi kan representera tal i positionssystemet med bas 2.
En dator lagrar sin data i positionssystemet med bas 2. Positionssystemet med bas 2 kallas
oftast för det binära talsystemet.
Heltal i det binära talsystemet
Om vi använder basen två i vårt talsystem så skulle talet 28 representeras på följande sätt.
Representation i bas 2: 1 1 1 0 0
Positionsvärde: 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
Talets värde: 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 0 · 2 0 = 28
Vi skriver detta som att 2810 = 111002. I fortsättningen kommer vi inte att skriva ut 10:an för
att markera att vi använder det decimala talsystemet, utan nöjer oss med att skriva 28 = 111002.
Observera att i bas 2 använder vi bara två siffror, 0 och 1. Vi kan se det som att vi har 28
enkronor och växlar dessa till mynt med valörerna 1, 2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , . . . och sedan anger hur många
mynt vi har av varje myntsort.
I allmänhet så representeras tal i bas 2 som följer.
Hur ett heltal skrivs i bas 2
Representation i bas 2: . . . s4 s3 s2 s1 s0
Positionsvärde: . . . 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
Talets värde: · · · + s4 · 2 4 + s3 · 2 3 + s2 · 2 2 + s1 · 2 1 + s0 · 2 0
Exempel 1.31. Skriv 18 i bas 2.
Lösningsförslag: Vi börjar med att se efter vilken tvåpotens som är den största som är mindre
(eller lika med) 18. Vi ser att 2 5 = 32 är för stort (32 > 18). Däremot funkar 2 4 = 16 alldeles
utmärkt. Vi har nu bara en tvåa kvar att konvertera eftersom 18 − 16 = 2. Vi använder då att
2 1 = 2 och ser att vi kan skriva 18 i bas 2. Vi får
18 = 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 100102.
Om man har ett tal skrivet i bas 2 kan man så klart också skriva om det i bas 10. Man använder
helt enkelt samma metod fast baklänges. Låt oss illustrera detta med ett exempel.
Exempel 1.32. Konvertera 1102 till bas 10.
Lösningsförslag: Vi skriver först om 1102 i tvåpotenser och beräknar sedan
1102 = 1 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 4 + 2 + 0 = 6.
14
⋆
⋆