Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Om vi tittar på tredje raden ser vi att det är precis koefficienterna framför x 2 , xy respektive y 2
i utvecklingen av (x + y) 2 . På samma sätt finner vi binomialkoefficienterna för utvecklingen av
(x + y) 3 på rad fyra och så vidare. Om vi räknar ut binomialkoefficienterna och ersätter dem med
tal i Pascals triangel får toppen följande utseende.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Vi ser då att Pascals triangel är symmetrisk. Detta beror på att n n
k = n−k , som vi visat
tidigare. För att förstå hur Pascals triangel är uppbyggd behöver vi en intressant egenskap hos
binomialkoefficienterna, nämligen sambandet
n + 1 n n
= + .
k k k − 1
Den intresserade läsaren uppmanas att fundera över hur man kan bevisa sambandet.
Längst ut i vänsterkanten på Pascals triangel finns alltid ett tal på formen n
0 = 1 och i högerkanten
ett tal på formen n
n = 1. Däremellan är alla binomialkoefficienter summan av de båda
talen ovanför, snett till höger och snett till vänster. För att beräkna summan använder vi likheten
1 1
= + , det vill säga 2 = 1 + 1.
ovan. Till exempel så har vi att 2
1
Övningar
1. På hur många sätt kan man ordna en kö med sju personer?
2. Hur många ord kan man bilda av bokstäverna i MISSISSIPPI?
0
1
3. Vi ska måla ett slott, en villa och koja i olika färger. Färgerna kan väljas bland orange, lila,
rosa, röd och brun. På hur många sätt kan detta göras?
4. I en skolklass finns nio elever. På hur många sätt kan man välja ut tre av dem att delta i en
tävling?
5. Beräkna
(a) 7
3 och
.
(b) 12
10
6. Summera de första raderna i Pascals triangel och se om du kan finna ett samband.
7. (svår) Visa att n n n
n n
0 + 1 + 2 + . . . + n = 2 . Ledning: Använd binomialsatsen för ett
algebraiskt bevis, tänk på resultatet i föregående uppgift. Försök gärna också visa det kombinatoriskt.
Då kan det vara bra att tänka på att 2n är antalet strängar av längd n med bara
ettor och nollor.
2.4 Logik
Logik handlar om påståenden och slutsatser man kan dra från dessa. Om man till exempel påstår
att x ≥ 10, så kan man direkt dra slutsatsen att x ≥ 0. Däremot kan man inte vara säker på att
x ≥ 0 garanterar att x ≥ 10. Talet x kan ju nämligen ligga mellan 0 och 10.
Sådana här slutsatser kallas implikationer. Om vi använder matematiska symboler, så blir påståendet
ovan x ≥ 10 ⇒ x ≥ 0. Detta utläses ”Om x är större än 10, så medför det att x är större
44