Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Polär framställning av komplexa tal
Tidigare har vi lärt oss att ange komplexa tal på formen a + bi. Vi kommer nu införa något som
kallas polära koordinater för att ange komplexa tal. De polära koordinaterna bygger på att man
anger hur långt från origo punkten ligger samt i vilken riktning.
Låt z = a + bi. I det första kapitlet införde vi beteckningen ¯z för det komplexa talet a − bi och
vi såg att z · ¯z = a 2 + b 2 genom att använda konjugatregeln. Vi definierar nu absolutbeloppet av
det komplexa talet z som
|z| = √ z · ¯z = a 2 + b 2 .
Observera att om b = 0 så överensstämmer definitionen av detta absolutbelopp med det vanliga
absolutbeloppet.
Exempel 3.47. Låt z = 1 + i. Då är
|z| = √ z · ¯z = 1 2 + 1 2 = √ 2.
Det komplexa talet z = a + bi definierar en punkt (a, b) i det komplexa talplanet. Talet r = |z|
betecknar då avståndet till origo, det vill säga r = √ a 2 + b 2 .
Argumentet till z, betecknat arg(z), är vinkeln mellan den positiva reella axeln och den räta
linje som går från origo till punkten (a, b).
Exempel 3.48. Argumentet till z = 1 + i är π/4 eftersom vinkeln mellan den positiva reella axeln och den
räta linje som går från origo till punkten (1, 1) är π/4, se Figur 41.
Im
Figur 41: Punkten z = 1 + i och enhetscirkeln i det komplexa talplanet.
Exempel 3.49. Argumentet till z = i−1 är 3π/4 eftersom vinkeln mellan linjen genom origo till punkten
(−1, 1) och den positiva reella linjen är π/2 + π/4 = 3π/4, se Figur 42.
Det komplexa talet z = a + bi kan alltså skrivas som
|z|(cos(arg(z)) + i sin(arg(z))).
Lägg märke till att i specialfallet när |z| = 1 så ligger (a, b) på enhetscirkeln.
Exempel 3.50. Skriv z = i − 1 på polär form.
Lösningsförslag: Vi har tidigare sett att argumentet till z är 3π/4. Eftersom absolutbeloppet av
i − 1 är √ 2 så gäller det att
z = √ 2(cos 3π/4 + i sin 3π/4).
81
Π
4
1 i
Re
⋆