Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

Exempel 2.14. Man vet att x = 1 och x = 3 är rötter till x 2 + ax + b. Bestäm a och b. Lösningsförslag: Enligt faktorsatsen gäller det att (x − 1)(x − 3) = x 2 + ax + b, det vill säga x − 4x + 3 = x 2 + ax + b. Alltså måste a = −4 och b = 3. ⋆ Hur man finner rationella rötter Oftast är det omöjligt att gissa sig till en rot till en ekvation p(x) = 0. Det finns dock ett enkelt resultat som gör det möjligt att finna eventuella rationella rötter till p(x) = 0 då polynomet har heltalskoefficienter. Vi visar hur detta resultat fungerar med ett exempel. Exempel 2.15. Låt f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6. Finn alla rationella rötter till ekvationen f(x) = 0. Lösningsförslag: Vi antar att vi har en rationell rot p q samma faktorer bortsett från 1 och -1 ( p q Om vi multiplicerar uttrycket med q 3 får vi Vi adderar sedan 6q 3 till båda sidor och får Genom att bryta ut p i vänsterledet får vi till ekvationen, där p och q saknar gemen- är alltså förkortat så långt som möjligt). Då gäller att 3 2 p p − 6 + 11 q q p − 6 = 0. q p 3 − 6p 2 q + 11pq 2 − 6q 3 = 0. p 3 − 6p 2 q + 11pq 2 = 6q 3 . p(p 2 − 6pq + 11q 2 ) = 6q 3 . Eftersom nu vänsterledet är delbart med p måste även högerledet vara det. Vi antog att p och q saknar gemensamma faktorer vilket innebär att p måste dela 6. Möjliga värden på p blir därför ±1, ±2, ±3 och ±6. På samma sätt kan vi hitta möjliga värden på q. Vi gör detta genom att först subtrahera p 3 från båda led i ekvationen p 3 − 6p 2 q + 11pq 2 − 6q 3 = 0 vilket ger Vi bryter ut q i vänsterledet och får −6p 2 q + 11pq 2 − 6q 3 = −1 · p 3 . q(6p 2 + 11pq − 6q 2 ) = −1 · p 3 . Vi ser att vänsterledet är delbart med q och därför måste också högerledet vara det. Vi antog att p och q saknar gemensamma faktorer vilket innebär att p måste vara delbart med −1. Vi får alltså de möjliga värderna ±1 för q. Kombinerar vi alla värden på p och q får vi 1 = 1, 1 2 = 2, 1 3 = 3, 1 6 = 6, 1 1 = −1, −1 −1 = −1, 1 −1 = 1, −1 2 = −2, −1 −2 = −2, 1 −2 = 2, −1 3 = −3, −1 −3 = −3, 1 −3 = 3, −1 6 = −6, −1 −6 = −6, 1 −6 = 6, −1 36
det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±6 är de möjliga rationella rötterna till ekvationen f(x) = 0. Låt oss testa rötterna genom insättning. Vi får f(−1) = −24, f(1) = 0, f(−2) = −60, f(2) = 0, f(−3) = −120, Alltså är 1, 2 och 3 rötter till ekvationen f(x) = 0. Mer allmänt gäller följande. f(3) = 0, f(−6) = −504 och f(6) = 60. Låt p(x) = anx n +an−1x n−1 +. . .+a1x+a0 vara ett polynom med heltalskoefficienter. Om p/q är en rot till ekvationen p(x) = 0, där p/q är förkortat så långt som möjligt, så måste p vara en faktor i a0 och q en faktor i an. Detta visar man på i princip samma sätt som vi resonerade i exemplet tidigare. Exempel 2.16. Låt f(x) = x 3 + x 2 + x + 1. Finn alla rationella lösningar till ekvationen f(x) = 0. Lösningsförslag: Om ekvationen har en rationell rot p/q så måste det gälla att q är en faktor till koefficienten framför x 3 (som är 1) och att p är en faktor till den konstanta termen (som också är 1). Alltså är de enda möjliga lösningarna Insättning ger och (−1)/(−1) = 1/1 = 1 och 1/(−1) = (−1)/1 = −1. f(1) = 1 3 + 1 2 + 1 + 1 = 0 f(−1) = (−1) 3 + (−1) 2 + (−1) + 1 = 0. Alltså är −1 den enda rationella roten till ekvationen f(x) = 0. Exempel 2.17. Låt f(x) = 8x 5 + 2x + 6. Visa att ekvationen f(x) = 0 saknar rationella lösningar. Lösningsförslag: Om ekvationen har en rationell rot p/q så måste det gälla att q är en faktor till 8 och att p är en faktor till 6. Delarna till q är ±1, ±2, ±4, ±8. Delarna till p är ±1, ±2 ± 3, ±6. Detta ger ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1 2 , ±1 4 , ±3 2 , ±3 4 , ±1 , ±3 8 8 som möjliga lösningar. Läsaren kan verifiera genom insättning att inget av dessa rationella tal är en lösning till ekvationen f(x) = 0. Alltså saknar ekvationen f(x) = 0 rationella lösningar. ⋆ Övningar 1. Utför polynomdivisionerna p(x)/q(x) där (a) p(x) = x 2 + x + 1 och q(x) = x − 1, (b) p(x) = 3x 3 + 2x 2 − 5x + 7 och q(x) = x 2 + 3, (c) p(x) = 3x 4 + 2x 3 − 5x 2 + x + 7 och q(x) = x 2 − 3x − 1, (d) p(x) = x 3 + 1 och q(x) = x 2 − x + 1, (e) p(x) = x 4 − x 3 + x 2 + 2 och q(x) = x 3 + 4x 2 + 4x + 3. 37 ⋆ ⋆
Page 1 and 2: Förberedande kurs i matematik Alex
Page 3 and 4: Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva h
Page 5 and 6: 1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 7 and 8: Potenser För att lättare hantera
Page 9 and 10: Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12: Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13 and 14: Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 15 and 16: Övningar 1. Konvertera 34 till bas
Page 17 and 18: Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20: 4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22: Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24: genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26: Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28: 2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30: Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32: Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34: 2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35: Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51 and 52: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 53 and 54: vi bestämma x-koordinaterna för s
Page 55 and 56: f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58: När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60: vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62: Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64: 5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66: Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68: Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70: 1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72: Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74: 1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75 and 76: v b a Figur 30: En triangel med de
Page 77 and 78: Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
Page 79 and 80: 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82: Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84: x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86: Det gäller att gränsvärdet för
Page 87 and 88:
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 89 and 90:
Produktregeln Produktregeln beskriv
Page 91 and 92:
Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94:
Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96:
a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98:
Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100:
På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102:
5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104:
2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106:
(b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108:
Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?