Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
Genom att använda den distributiva lagen och den kommutativa lagen för multiplikation ska
vi härleda kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Eftersom den kommutativa och den distributiva
lagen gäller för alla de talsystem vi berör i detta material så kommer dessa regler att gälla allmänt.
Vi noterar först att
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.
Genom att betrakta specialfallet a = c och b = d får vi kvadreringsregeln
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Ibland kallas denna regel istället första kvadreringsregeln och då vi byter ut b mot −b får vi det
som ibland kallas andra kvadreringsregeln. Då gäller alltså:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
Nedan följer några exempel där kvadreringsregeln kan vara praktisk att använda.
Exempel 1.50. Använd kvadreringsregeln för att beräkna 101 2 .
Lösningsförslag: Ett bra sätt att beräkna kvadraten på ett mer komplicerat tal är att skriva om
talet som summan av två tal vars kvadrater lätt kan beräknas. I detta exempel är det praktiskt
att göra omskrivningen 101 2 = (100 + 1) 2 . Vi kan nu enkelt använda kvadreringsregeln för att
beräkna kvadraten och får
(100 + 1) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 1 + 1 2 = 10000 + 200 + 1 = 10201.
Exempel 1.51. Faktorisera x 2 − 2x + 1.
Lösningsförslag: Här kan vi direkt använda andra kvadreringsregeln (med a = b = 1) och vi får
Exempel 1.52. Faktorisera uttrycket
x 2 − 2x + 1 = (x − 1) 2 .
x 3 + 4x 2 + 4x.
Lösningsförslag: Vi börjar med att bryta ut x eftersom x finns i alla termer i uttrycket.
x 3 + 4x 2 + 4x = x(x 2 + 4x + 4),
och därefter använder vi första kvadreringsregeln baklänges
x(x 2 + 4x + 4) = x(x + 2) 2 .
24
⋆
⋆
⋆