Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

än 0” eller ”x större än 10 implicerar att x är större än 0”. Ibland så händer det att två påståenden
implicerar varandra. Detta kallas ekvivalens och innebär att båda påståendena har samma sanningsvärde
samtidigt. Detta skrivs ganska naturligt som implikationspilar åt båda hållen, ⇔. Ett
exempel på ekvivalens är x = 2 ⇔ x = 1 + 1.
När man skriver om uttryck och ekvationer, så är det ofta att ekvationen före och efter manipulationen
är ekvivalenta. Vad som menas med ”ekvivalent” beror på vad man manipulerar. När
det gäller ekvationer så säger man att två ekvationer är ekvivalenta om de har samma rötter. Det
gäller alltså att
5x + 4 = 3x + 9 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5
2
eftersom x = 5
2 är den enda roten till alla tre ekvationerna.
Men ekvationerna
(x − 1)x = x och x − 1 = 1
är inte ekvivalenta, eftersom den vänstra ekvationen har 0 och 2 som rötter, medan den högra
endast har 2 som rot. Däremot gäller det att
(x − 1)x = x ⇐ x − 1 = 1,
vilket betyder att den högra ekvationen implicerar den vänstra. Alla lösningar till den högra
ekvationen är alltså lösningar till den vänstra.
Det är ett vanligt misstag att försöka lösa en ekvation av just typen
(x − 1)x = x
genom att ”dela med” x. Problemet är alltså att vi kan missa lösningar, i det här fallet lösningen
x = 0.
En liknande situation får vi då vi betraktar rotekvationer. Ekvationen √ x = x − 2 kan vi lösa
genom att kvadrera båda led, vi får då x = (x − 2) 2 , eller x = x 2 − 4x + 4. Genom att använda
kvadratkomplettering eller pq-formeln på x 2 −5x+4 = 0 får vi fram rötterna x = 4 och x = 1. Men
om vi sätter in den andra roten i vår urspungliga ekvation får vi 1 = −1 vilket är en falsk utsaga.
Lärdomen vi ska dra är att kvadrering av båda sidor av en ekvation kan ge oss falska lösningar.
Anledningen till detta har att göra med att kvadrering eliminerar minustecken. Utsagan
−2 = 2
är givetvis falsk, men när vi kvadrerar båda led får vi
4 = 4,
vilket är en sann utsaga.
Däremot gäller, precis som ovan, att alla lösningar till √ x = x − 2 också är lösningar till
x = (x − 2) 2 , det vill säga
Exempel 2.38. Lös ekvationen √ x + 2x − 3 = 0.
√ x = x − 2 ⇒ x = (x − 2) 2 .
Lösningsförslag: Vi ställer rotutrycket ensamt i vänsterledet och kvadrerar sedan bägge led, vi
får alltså att
√ x + 2x − 3 = 0 ⇒ ( √ x) 2 = (3 − 2x) 2 .
Det högra uttrycket skrivs om till 9 − 13x + 4x 2 = 0 vilket ger lösningarna x = 1 och x = 9/4. Vi
testar lösningarna genom insättning och finner att 9/4 är en falsk rot. ⋆
45