Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

5 v 7 Figur 32: En triangel med en obekant vinkel v som kan bestämmas med hjälp av cosinussatsen. I vårt fall ger detta att v = 60 ◦ . ⋆ Sammanfattningsvis har vi följande triangelsatser: Areasatsen: a · b · sin v A = 2 Sinussatsen: sin A sin B sin C = = a b c Cosinussatsen: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos C Trigonometriska funktioner Som vi pratat om i föregående kapitel är sinus, cosinus och tangens exempel på trigonometriska funktioner, med R som definitionsmängd och intervallet [−1, 1] som målmängd. Vi ska nu titta på negativa vinklar och vinklar som är större än 2π eller 360 ◦ . Periodiska funktioner Om vi tänker oss en vinkel på enhetscirkeln och till den vinkeln adderar ett varv, det vill säga 2π, hur förändras då sinus- och cosinusvärdena? Eftersom de trigonometriska funktionernas värden för en vinkel definieras av x och y−koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln gäller det att ta reda på vilken punkt vi hamnar vid när vi till en vinkel adderar ett varv. Vi ser att vi hamnar vid precis samma punkt. Detta illustreras i Figur 33. Tänk dig exempelvis att du springer på en löparbana med formen av en cirkel. När du springer ett varv är du alltid tillbaka på samma ställe som du började. På samma sätt kommer du tillbaka till samma ställe om du springer 10 varv. Vi får följande trigonometriska samband: sin v = sin(v + n · 2π) cos v = cos(v + n · 2π), där n är ett heltal som anger antalet varv. Vi säger att sinus och cosinus är periodiska funktioner med perioden 2π (eller 360 ◦ .) Graferna för funktionerna sin x och cos x finns i Figur 34 och i Figur 35. Med hjälp av Figur 36 får vi följande formler som är till hjälp då vi ska bestämma perioden för tangens: 39 sin(v + π) = −y = − sin v cos(v + π) = −x = − cos v 76 cm
Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 v v 2Π x,y Figur 33: I bilden ser vi en vinkel v samt vinkeln v + 2π. 1.0 0.5 6 4 2 2 4 6 0.5 1.0 Figur 34: Grafen för funktionen f(x) = sin x på intervallet [−6, 6]. tan(v + π) = sin(v + π) − sin v sin v = = = tan v. cos(v + π) − cos v cos v Detta innebär att tangensfunktionen är periodisk med perioden π och alltså gäller tan(v + n · π) = tan v. Grafen till tangensfunktionen finns ritad i Figur 37. Exempel 3.41. Beräkna cos 225 ◦ . Lösningsförslag: Vi har eftersom cos 225 ◦ = cos(180 ◦ + 45 ◦ ) = − cos 45 ◦ = − 1 √ 2 cos(180 ◦ + v) = − cos v. 77 ⋆
Page 1 and 2:
Förberedande kurs i matematik Alex
Page 3 and 4:
Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva h
Page 5 and 6:
1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 7 and 8:
Potenser För att lättare hantera
Page 9 and 10:
Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12:
Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13 and 14:
Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 15 and 16:
Övningar 1. Konvertera 34 till bas
Page 17 and 18:
Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20:
4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22:
Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24:
genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26: Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28: 2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30: Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32: Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34: 2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35 and 36: Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 37 and 38: det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51 and 52: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 53 and 54: vi bestämma x-koordinaterna för s
Page 55 and 56: f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58: När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60: vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62: Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64: 5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66: Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68: Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70: 1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72: Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74: 1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75: v b a Figur 30: En triangel med de
Page 79 and 80: 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82: Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84: x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86: Det gäller att gränsvärdet för
Page 87 and 88: 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 89 and 90: Produktregeln Produktregeln beskriv
Page 91 and 92: Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94: Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96: a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98: Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100: På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102: 5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104: 2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106: (b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108: Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?