Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Eftersom vi slutade med en nolla gick polynomdivisionen jämt ut. Vi har alltså fått fram att
x 3 + 2x + 3 = (x + 1)(x 2 − x + 3). ⋆
Faktorsatsen
Låt p(x) vara ett polynom av grad n. Om det finns en faktor (x − a) i polynomet så kan man bryta
ut denna faktor och skriva p(x) = (x − a)q(x) där q(x) är ett polynom av grad n − 1. Vi ser då att
a är en rot till ekvationen p(x) = 0 eftersom
p(a) = (a − a)q(a) = 0 · q(a) = 0
oavsett värdet på q(a). Vidare gäller det alltså att om (x − a) är en faktor till polynomet p(x) så är
a en rot till polynomekvationen p(x) = 0.
Exempel 2.11. Polynomet p(x) = x 2 − 4 kan faktoriseras med hjälp av konjugatregeln, det vill säga
x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Alltså är 2 och −2 rötter till ekvationen p(x) = 0.
Vi ska nu visa att även det omvända gäller, alltså att om a är en rot till ekvationen p(x) = 0,
för något polynom p(x) av grad n, så måste (x − a) vara en faktor i polynomet.
Vi börjar med att utföra polynomdivision på p(x) med (x − a). Från föregående kapitel vet vi
att resten har grad mindre än det vi delar med, alltså får vi
p(x) = g(x)(x − a) + r(x),
där g(x) är ett polynom av grad n − 1 och r(x) är ett polynom av grad noll. Eftersom ett polynom
av grad noll är konstant så kan vi skriva det som r(x) = k. Detta betyder alltså att r(x) är lika
med k oavsett värde på x.
Eftersom vi har antagit att a är en rot till p(x), så är p(a) = 0. Sätter vi in detta i uttrycket ovan
erhåller vi
0 = p(a) = g(a)(a − a) + r(a) = g(a) · 0 + r(a) = r(a) = k.
Alltså är k = 0 och därmed har vi p(x) = g(x)(x − a) och (x − a) är en faktor i polynomet om
a är en rot till p(x) = 0. Vi har således bevisat det som heter faktorsatsen.
Faktorsatsen: (x − a) är en faktor i polynomet p(x) om och endast om a är
en rot till polynomekvationen p(x) = 0.
Uttrycket om och endast om innebär ekvivalens, vilket betyder att vi har visat påståendet åt båda
hållen: om a är en rot till p(x) = 0 så är (x − a) en faktor i polynomet och om (x − a) är en
faktor i polynomet så är a en rot. Enligt faktorsatsen är alltså problemet att finna lösningar till en
algebraisk ekvation ekvivalent med problemet att finna förstagradsfaktorer i ett polynom.
Exempel 2.12. Polynomet p(x) = 5x 3 − 3x 2 − 2x är exempelvis delbart med faktorn (x − 1) eftersom 1
är en rot till ekvationen. Även 0 är en rot till ekvationen och alltså är p(x) delbart även med x.
Exempel 2.13. Låt p(x) = x 3 − 3x 2 + 4. Lös tredjegradsekvationen p(x) = 0 med faktorsatsen.
Lösningsförslag: Om vi kan finna en heltalsrot genom att prova oss fram, så kan vi därefter utföra
polynomdivision med motsvarande faktor för att därefter lösa den andragradsekvation vi då får.
Vi ser i ekvationen ovan att x = 2 är en lösning till ekvationen eftersom p(2) = 2 3 − 3 · 2 2 + 4 = 0.
Det betyder enligt faktorsatsen att (x − 2) är en faktor i polynomet, vilket innebär att polynomet
är delbart med (x − 2). Med polynomdivision får vi p(x) = (x − 2)(x 2 − x − 2) och ekvationen
x 2 − x − 2 = 0 är en vanlig andragradsekvation med lösningarna x = −1 och x = 2. Således har
vår ekvation lösningarna x = −1 och x = 2 där den senare är en dubbelrot. Polynomet kan därför
skrivas som p(x) = (x + 1)(x − 2) 2 . ⋆
35