Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

man kan säga att en funktion är kontinuerlig om man kan rita den utan att lyfta på pennan. Alla
reella funktioner som vi stött på hittills är kontinuerliga. Vi behöver en till definition innan vi
formulerar och bevisar satsen. Vi sätter ∆y = g(x + ∆x) − g(x), vilket innebär att ∆y är litet om
∆x är litet.
Sats. Låt f(x) och g(x) vara kontinuerliga reella funktioner. Då gäller att
D [f (g(x))] = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
Bevis. Enligt definitionen av derivata så gäller det att
f(g(x + ∆x)) − f(g(x))
D [f(g(x))] = lim
∆x→0 ∆x
Vi förlänger täljare och nämnare med g(x + ∆x) − g(x) och får
f(g(x + ∆x)) − f(g(x))
lim
·
∆x→0 g(x + ∆x) − g(x)
g(x + ∆x) − g(x)
∆x
Vi kan enligt ovan snygga till nämnaren, samt byta ut g(x + ∆x) till ∆y + g(x) i nämnaren. Vi får
Här byter vi nu ut g(x) till y, och får
f(∆y + g(x)) − f(g(x))
lim
·
∆x→0 ∆y
g(x + ∆x) − g(x)
∆x
f(y + ∆y) − f(y)
lim
·
∆x→0 ∆y
g(x + ∆x) − g(x)
∆x
Eftersom ∆y → 0 då ∆x → 0, så får vi att ovanstående blir
f(y + ∆y) − f(y) g(x + ∆x) − g(x)
lim
· lim
∆y→0 ∆y
∆x→0 ∆x
Vi känner nu igen delarna som definitioner på derivator och vi har helt enkelt
Vi är nu klara med beviset.
f ′ (y) · g ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x).
Kvotregeln. Kvotregeln beskriver hur man beräknar derivatan av en kvot.
D
f(x)
g(x)
Exempel 4.8. Beräkna derivatan av f(x) = x 2 / sin x.
= f ′ (x) · g(x) − f(x)g ′ (x)
(g(x)) 2 .
Lösningsförslag: Låt g(x) = x 2 och låt h(x) = sin x. Då är
f ′ (x) = g′ (x) · h(x) − g(x)h ′ (x)
(h(x)) 2
= 2x · sin x − x2 cos x
sin 2 .
x
Man kan härleda kvotregeln från produktregeln och kedjeregeln, men vi utelämnar det beviset.
90
⋆