Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Tillämpning av derivata
Vi säger att en funktion f(x) har ett lokalt minimum i punkten a om funktionsvärderna precis
intill punkten a är större än f(a). På samma sätt har f(x) ett lokalt maximum i punkten a om
funktionsvärderna precis intill punkten a är mindre än f(a).
Derivatan till en funktion är noll eller odefinierad i punkter där lokalt minimum eller maximum
finns. Man kan inse detta genom att minnas definitionen av derivatan av en funktion i en
punkt som lutningen på tangenten på funktionens grad i samma punkt. Att ha lutning noll är
detsamma som att vara parallell med x-axeln, se Figur 50.
2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
Figur 50: Grafen för funktionen f(x) = x 3 + 2x 2 + 1. Derivatan f ′ (x) är lika med 3x 2 + 4x =
(3x + 4) · x och har nollställen i x = 0 och i x = −4/3. I punkten x = 0 har funktionen en lokal
minimpunkt och i punkten x = −4/3 antar f ett lokalt maxima. Tangenterna i dessa punkter är
utritade med streckade linjer.
Funktionen f(x) = 16 − x 2 har ett maximum för x = 0 och mycket riktigt så är f ′ (0) = 0.
Funktionen f(x) = |x| har ett minimum i x = 0 och saknar derivata i den punkten. Punkter som
är lokala maxima eller minima kallas för extrempunkter.
Det gäller att andraderivatan f ′′ (x), definierad som derivatan av f ′ (x), är positiv i ett lokalt
minimum, och att f ′′ (x) är negativ i ett lokalt maximum (om den existerar vill säga). Observera
att det i vissa fall gäller att f ′ (x) = f ′′ (x) = 0. I dessa fall kan det hända att funktionen inte har
några lokala extrempunkter trots att derivatan är noll. Exempelvis saknar funktionen f(x) = x 3
lokala extrempunkter trots att f ′ (0) = 0.
Exempel 4.9. Bestäm alla extrempunkter, deras typ, och funktionsvärdet i dessa för funktionen f(x) =
2x 3 − 3x 2 − 12x + 5.
Lösningsförslag: Efter f(x) är ett polynom så är derivatan definierad överallt. Vi beräknar att
f ′ (x) = 6x 2 − 6x − 12, så lösningarna till f ′ (x) = 0 är x = 2 och x = −1. Detta blir våra potentiella
extrempunkter, eftersom f(x) inte har några punkter där derivatan saknas.
Vi beräknar sedan f ′′ (x) = 12x−6 och vi får att f ′′ (−1) = −18 < 0, så x = −1 är ett maximum.
Vidare så är f ′′ (2) = 18 och x = 2 är då ett minimum.
Sammanfattningsvis har vi då att x = −1 är ett maximum, och x = 2 är ett minimum. Funktionsvärdena
i dessa punkter är f(−1) = 12 resp. f(2) = −15. ⋆
92
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5