Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

genom att använda den distrubutiva lagen och sambandet i 2 = −1. Formeln är ingenting man
behöver lära sig utantill, det är bättre att utföra multiplikationen direkt.
Exempel 1.48. Låt z = 1 − 2i och w = 3 + 4i. Beräkna z + w, z − w och z · w.
Lösningsförslag: Vi använder reglerna ovan och får
Subtraktion ger att
Vi utför sedan multiplikationen och får
z + w = (1 − 2i) + (3 + 4i) = 1 + 3 − 2i + 4i = 4 + 2i.
z − w = (1 − 2i) − (3 + 4i) = 1 − 3 − 2i − 4i = −2 − 6i.
z · w = (1 − 2i) · (3 + 4i) = 1 · 3 + 1 · 4i − 2i · 3 − 2i · 4i = 3 + 4i − 6i − 8i 2 = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i.
Alltså har vi att z + w = 5 + 2i, z − w = −2 − 6i och z · w = 11 − 2i. ⋆
De regler som gäller för reella tal fungerar även för komplexa tal. Observera att vi ännu inte
gett någon metod för att dividera två komplexa tal. Detta gör vi i nästa avsnitt.
Du kan själv verifiera att för komplexa tal z, w och v gäller det att
Exempel 1.49. Beräkna (2i) 3 .
z + w = w + z Kommutativa lagen för addition
(z + w) + v = z + (w + v) Associativa lagen för addition
z · w = w · z Kommutativa lagen för multiplikation
(z · w) · v = z · (w · v) Associativa lagen för multiplikation
z · (w + v) = z · w + z · v Distributiva lagen
Lösningsförslag: Vi har att (2i) 3 = 2 3 · i 3 som blir 8i 3 . Vidare så är i 3 = i 2 · i och i 2 = −1. Alltså
är 8i 3 = −8i. ⋆
Övningar
1. Beräkna 2 − i + 3 + 4i.
2. Beräkna 2i · (2 − 2i).
3. Låt z = 1 − i och w = 2 + i
3 .
(a) Beräkna z + w.
(b) Beräkna z − w
(c) Beräkna z · w.
4. Beräkna i 10 .
5. Bestäm realdelen och imaginärdelen till z = (1 + i) 3 .
23