Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

där P1 står för person ett, P2 för person två, och så vidare.
⋆
Hur många sätt finns det i allmänhet att oordnat välja k objekt från n objekt? Om vi hade tagit
hänsyn till ordning hade det funnits
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
val. Eftersom en grupp av k personer kan ordnas på k! sätt så kommer varje grupp av personer
att förekomma k! gånger när vi gör det ordnade urvalet. Vi får alltså det oordnade urvalet genom
att dela med faktorn k!, vilket betyder att det finns
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
k!
sätt att välja k objekt från n objekt oordnat.
Antalet sätt att välja k föremål av n möjliga dyker upp i många sammanhang och har därför
fått en egen beteckning. Det betecknas
n
k
och kallas binomialkoefficient.
Genom att förlänga täljare och nämnare med (n − k)! får vi likheten
n n!
=
k (n − k)!k! .
Symbolen n
k utläses “n över k”.
Exempel 2.30. Beräkna 7
3
.
Lösningsförslag:
7 7!
=
3 (7 − 3)!3! = 7 · 6 · 5 · ✁4 · ✁3 · ✁2 · ✁1 7 · 6 · 5
=
✁4 · ✁3 · ✁2 · ✁1 · 3 · 2 · 1 3 · 2 · 1 = 7 · ✁6 · 5
= 7 · 5 = 35
✁3 · ✁2 · 1
Exempel 2.31. En pokerhand innehåller fem av de 52 korten i en kortlek. Vad är det totala antalet pokerhänder?
Lösningsförslag: Vi ska räkna ut antalet sätt att dra fem kortur en kortlek innehållande 52 kort,
olika pokerhänder. ⋆
detta ska alltså ske utan ordning. Med andra ord finns det 52
5
Vi kan konstatera att
n
k
och
n
n − k
är samma tal. Att välja ut k av n är ju detsamma som att strunta i att välja (n − k) av n. Vi kan
även visa detta algebraiskt:
n
=
k
n!
k!(n − k)! =
n!
(n − (n − k))!(n − k)! =
41
n!
(n − k)!(n − (n − k))! =
n
.
n − k
⋆