Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Det är viktigt att förstå att begreppen surjektiv och injektiv hänger samman med vilken definitionsmängd
och värdemängd man väljer.
Exempel 3.5. Låt f : R≥0 → R, där f(x) = x 2 . Nu är funktionen injektiv eftersom det inte finns två
icke-negativa tal vars kvadrat är lika. Värdemängden är precis som i föregående exempel R≥0, så funktionen
är inte surjektiv.
Exempel 3.6. Låt f : R≥0 → R≥0, där f(x) = x 2 . Denna funktion är både injektiv och surjektiv. Olika
tal avbildas på olika tal och värdemängden är lika med målmängden (R≥0).
Exempel 3.7. Låt nu istället f(x) = x 2 vara en funktion definierad från N till N. Då kommer värdemängden
att vara {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .}, det vill säga alla heltalskvadrater. Funktionen är inte surjektiv, men
däremot är den injektiv eftersom N inte innehåller några negativa tal.
Exempel 3.8. Vi kan definiera en funktion f : Z → Z, det vill säga från heltalen till heltalen genom
att låta varje heltal a svara mot heltalet 2a, det vill säga f(a) = 2a. Denna funktion blir dock inte surjektiv
eftersom vi aldrig kan ”träffa” ett udda tal. Värdemängden innehåller alltså bara de jämna talen.
Definitionsmängden till f är Z och värdemängden till f är {2 · a | a ∈ Z}.
Exempel 3.9. Låt Y = {j, u} och definiera en funktion g : Z → Y genom att låta
j om a är jämnt,
g(a) =
u om a är udda.
Funktionen g kommer att vara surjektiv men inte injektiv eftersom (bland annat) de skilda värdena 1 och 3
avbildas på samma värde, nämligen u.
Sammansättningen av två funktioner
Låt f : X → Y och g : Y → C vara två funktioner. Eftersom funktionen g:s definitionsmängd
är densamma som funktionen f:s målmängd så är det möjligt att bilda en ny funktion h från
mängden X till mängden C där x ∈ X först avbildas på f(x) ∈ Y , som i sin tur avbildas på
g(f(x)) ∈ C. Funktionen h som avbildar x ∈ X på g(f(x)) ∈ C är då den sammansatta funktionen
av f och g.
Funktionen h:s defintionsmängd blir alltså X och dess målmängd blir C.
Exempel 3.10. Låt oss sammansätta vår funktion f : Z → Z, f(a) = 2a med funktionen
j om a är jämnt,
g(a) =
u om a är udda.
Kalla den sammansatta funktionen för h. Det gäller alltså att h : Z → {j, u}, h(a) = g(f(a)). Då är
h(1) = g(f(1)) = g(2) = j, h(2) = g(f(2)) = g(4) = j och h(3) = g(f(3)) = g(6) = j.
Det verkar alltså som att h avbildar alla värden på j. Det stämmer, och det beror på att
h(a) = g(f(a)) = g(2a) = j,
oberoende av värdet på a. Eftersom det inte finns något tal a ∈ Z så att h(a) =u, så är funktionen inte
surjektiv. Funktionen är inte heller injektiv. Varför då?
Ibland är en funktions natur sådan att den inte är definierad överallt även om vi skulle önska
det. Ta till exempel funktionen f(x) = 1/x för reella värden på x. Den är inte definierad för x = 0
eftersom man inte får dividera med noll, men däremot är den definierad för alla andra reella tal.
Funktionens definitionsmängd är alltså ”alla reella tal utom 0”, vilket vi kan skriva som R \ {0}.
50