Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Vi börjar med fall 1. Först låter vi exponenten vara ett positivt heltal. Det är naturligt att låta
vilket för ett rationellt tal p/q innebär att
r a = r · · · r ,
a gånger
(p/q) a = p/q · · · p/q = p a /q a .
Exempel 1.41. Vi räknar det första exemplet från fall 1). Vi får
(− √ 2) 2 = (− √ 2) · (− √ 2) = √ 2 · √ 2 = 2
Låt nu exponenten vara ett icke-positivt heltal. Vi definierar
r 0 = 1 när r = 0 och r −a = 1
.
ra Observera alltså att 4 0 = (−13) 0 = ( √ 2) 0 = ( 1
4 )0 = 1, men att 0 0 inte är definierat.
Exempel 1.42. Vi räknar det andra exemplet i fall 1) och får
2 −3 = 1 1
=
23 8 .
Vi fortsätter med fall 2, där exponenten alltså är ett rationellt tal och basen ett icke-negativt
heltal. När a är ett icke-negativt heltal definierar vi a 1/2 som det positiva tal b vars kvadrat är lika
med a, det vill säga att a 1/2 = √ a. På liknande sätt definierar vi, då a är ett icke-negativt heltal,
a 1/n som det positiva tal b som upphöjt till n är lika med a, det vill säga b n = a.
Exempel 1.43.
4 1/2 = √ 4 = 2, 27 1/3 = (3 3 ) 1/3 = 3 3·(1/3) = 3 1 = 3, (2 10 ) 1/10 = 2
Observera att √ 4 = 2 och inte −2, eftersom vi kräver att √ 4 ska vara positivt.
Slutligen, om a är är ett icke-negativt heltal så definierar vi
Exempel 1.44. Förenkla 4 3/2 .
a c/d = (a c ) 1/d .
Lösningsförslag 1: Vi använder definitionen och skriver 4 3/2 = (4 3 ) 1/2 = √ 4 3 . Vi fortsätter och
får √ 4 3 = √ 64 = 8. ⋆
Lösningsförslag 2: Man kan också utnyttja potenslagen (a b ) c = a bc och omskrivningen 4 = 2 2 för
att få
4 3/2 = (2 2 ) 3/2 = 2 2·3/2 = 2 3 = 8.
⋆
För att se fördelen med det senare sättet, betrakta 128 4/7 . Att beräkna 128 4 och sedan försöka
finna sjunderoten av det talet är givetvis inte att föredra framför omskrivningen 128 = 2 7 och
räkningen 2 7·4/7 = 2 4 = 16.
Exempel 1.45. Förenkla √ 2 −2/3 .
20