Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Är derivatan alltid definierad?
Låt oss studera derivatans definition igen. Det gäller alltså att
f ′ (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
.
h
Vad som är viktigt att förstå är att talet h kan vara både negativt och positivt. Det innebär
att x + h både kan vara mindre än eller större än x. För att derivatan ska vara definierad måste
alltså limh→0 f(x+h)−f(x)
h vara samma tal oavsett om vi ”kommer från höger” (om h är positivt)
eller om vi ”kommer från vänster” (om h är negativt). Att det inte spelar någon roll från vilket
håll vi kommer gäller för våra vanliga funktionstyper; polynom, rationella funktioner, exponentialfunktioner,
logaritmfunktioner och trigonometriska funktioner, men det visar sig att det finns
elementära funktioner där derivatan är odefinierad.
Ett klassiskt exempel är funktionen f(x) = |x|, se Figur 49. Funktionen kan skrivas som
3
2
1
3 2 1 1 2 3
1
2
3
Figur 49: Funktionen f(x) = |x|.
f(x) =
g(x) = x om x ≥ 0
h(x) = −x om x < 0.
Derivatan av funktionen g(x) är 1 medan derivatan av funktionen h(x) är −1, vilket antyder
att derivatan till funktionen är odefinierad i punkten 0. Låt oss visa att derivatan verkligen är
odfinierad. Antag först att h är ett positivt tal. Vi får då
f(0 + h) − f(0)
lim
= lim f(h)/h = lim h/h = lim 1 = 1.
h→0 h
h→0 h→0 h→0
Om vi istället antar att h är ett negativt tal så får vi
f(0 + h) − f(0)
lim
= lim f(h)/h = lim −h/h = lim −1 = −1
h→0 h
h→0 h→0 h→0
eftersom f(h) = −h då h är negativt.
Det gäller alltså att funktionen f(x) saknar derivata i punkten 0. Observera att limh→0 1 = 1
och att limh→0 −1 = −1 eftersom vänsterleden inte alls beror av h.
91