Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

Med de hela talen löser vi problemet med subtraktionen 4 − 5 eftersom vi nu kan röra oss till vänster om noll. Subtraktion med ett negativt tal −a definierar vi som att gå a steg till höger på tallinjen. Uttrycket 5 − (−3) är således lika med 5 + 3. När vi subtraherar ett heltal från ett annat heltal får vi ett nytt heltal. De hela talen är alltså slutna under subtraktion. Följande lagar gäller för addition av heltal. (a + b) + c = a + (b + c) Associativa lagen a + b = b + a Kommutativa lagen −(−a) = a Negeringslagen Det finns också två lagar som reglerar borttagandet av parenteser, nämligen Exempel 1.1. (5 + 4 − 3) + 2 = 5 + (4 − 3 + 2). a + (−b) = a − b a − (−b) = a + b Exempel 1.2. 1 = 4 − 3 = 4 − (4 − 3 + 2) = 4 − 4 + 3 − 2 = 1. Exempel 1.3. 1 = 5 − 4 = −4 + 5 = −(4 − 5) = −(−1) = 1. Vi har sett att multiplikation av positiva heltal kan ses som en upprepad addition. På analogt vis kan vi tolka (−4) · 5 som −4 − 4 − 4 − 4 − 4 = −20. Följande lagar gäller för multiplikation av heltal. a · b = b · a Kommutativa lagen för multiplikation (a · b) · c = a · (b · c) Associativa lagen för multiplikation a · (b + c) = a · b + a · c Distributiva lagen Den distributiva lagen behärskas vanligtvis bra från vänster till höger, men det är viktigt att även kunna gå från höger till vänster, det vill säga att skriva om uttryck på formen a · b + a · c som a(b + c). Den distributiva lagen gäller givetvis även för fler element enligt exemplen nedan. Exempel 1.4. Exempel 1.5. Exempel 1.6. a · (b + c + d) = ab + ac + ad. (a + b) · (c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd. 5 = 25 − 20 = 5 · 5 − 5 · 4 = 5 · (5 − 4) = 5 · 1 = 5. Vi ska nu bestämma vad produkten av två negativa tal är. Vi har Genom att utnyttja den distributiva lagen får vi 0 = −a · 0 = (−a) · 0 = (−a) · (b − b). (−a) · b + (−a) · (−b) = 0. Vi flyttar över den vänstra termen till högerledet och får (−a) · (−b) = a · b. Produkten av två negativa tal är alltså lika med produkten av dess ”positiva motsvarigheter”. 6
Potenser För att lättare hantera uttryck av typen x · x · x har man infört potenser. Vi skriver x · x · x = x 3 , där x är potensens bas och 3 är potensens exponent . Potenser är ett kompakt skrivsätt och vi kan på mycket litet utrymme ge en övre gräns för antalet elementarpartiklar i hela universum enligt modern fysik, nämligen 2 300 . Kuriosa 1. Det finns en sägen som säger att när uppfinnaren av det schackliknande spelet Shaturanja visade upp spelet för kungen av Indien blev denne så imponerad att han ville ge uppfinnaren en belöning. Uppfinnaren sa då att han önskade sig ett vetekorn för den första rutan på schackbrädet, två vetekorn för den andra rutan, fyra vetekorn för den tredje, åtta vetekorn för den fjärde, och så vidare. Kungen tyckte att detta lät som en rimlig belöning och beviljade uppfinnarens önskning. Han insåg inte att summan 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + · · · + 2 64 med råge översteg samtliga vetekorn i hela världen. och att Vi kan notera att Allmänt gäller följande räkneregler: Exempel 1.7. 2 4 · 2 5 = 2 4+5 = 2 9 Exempel 1.8. (2 4 ) 5 = 2 4·5 = 2 20 x 3 · x 4 = (x · x · x) · (x · x · x · x) = x · · · x = x sju gånger 7 (x 3 ) 2 = x 3 · x 3 = (x · x · x) · (x · x · x) = x 6 = x 3·2 . x a · x b = x a+b (x a ) b = x a·b Exempel 1.9. 9 2 · 3 5 = (3 2 ) 2 · 3 5 = 3 2·2 · 3 5 = 3 4 · 3 5 = 3 4+5 = 3 9 Exempel 1.10. (−1) 4 = 1 Prioritetsreglerna Att uttrycket 3 + 3 · 4 är lika med 15 och inte 24 ser nog många som självklart. Men anledningen till detta är endast konventionell. Vi har bestämt att multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion. Om det motsatta hade gällt så hade 3 + 3 · 4 varit lika med 6 · 4 = 24. Prioritetsreglerna är följande: 1. Beräkna parenteser. 2. Beräkna potenser. 3. Beräkna multiplikation och division. 4. Beräkna addition och subtraktion. Exempel 1.11. Förenkla uttrycket (−1) 3 + 3 · ((4 − 2 3 ) 2 − 5). Lösningsförslag: Vi använder prioritetsreglerna och får (−1) 3 + 3 · ((4 − 2 3 ) 2 − 5) = −1 + 3 · ((4 − 8) 2 − 5) = −1 + 3 · ((−4) 2 − 5) = −1 + 3 · (16 − 5) 7 = −1 + 3 · 11 = −1 + 33 = 32. ⋆
Page 1 and 2: Förberedande kurs i matematik Alex
Page 3 and 4: Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva h
Page 5: 1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 9 and 10: Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12: Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13 and 14: Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 15 and 16: Övningar 1. Konvertera 34 till bas
Page 17 and 18: Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20: 4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22: Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24: genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26: Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28: 2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30: Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32: Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34: 2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35 and 36: Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 37 and 38: det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51 and 52: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 53 and 54: vi bestämma x-koordinaterna för s
Page 55 and 56: f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58:
När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60:
vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62:
Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64:
5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66:
Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68:
Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70:
1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72:
Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74:
1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75 and 76:
v b a Figur 30: En triangel med de
Page 77 and 78:
Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
Page 79 and 80:
6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82:
Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84:
x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86:
Det gäller att gränsvärdet för
Page 87 and 88:
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 89 and 90:
Produktregeln Produktregeln beskriv
Page 91 and 92:
Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94:
Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96:
a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98:
Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100:
På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102:
5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104:
2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106:
(b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108:
Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?