Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Exempel 3.25. Vilka x uppfyller olikheten x 2 − 5x ≤ −6?
Lösningsförslag: Man kan lätt luras att tro att vi faktoriserar vänsterledet direkt, men vi måste
ha 0 i högerledet för att kunna göra ett teckenschema. Vi skriver alltså om det som x 2 − 5x + 6 ≤
0. För att faktorisera vänsterledet, måste vi hitta rötterna till x 2 − 5x + 6 = 0. Löser vi denna
andragradsekvation, så finner vi att x = 2 och x = 3 är rötter. Vi kan då faktorisera vänsterledet
som (x − 2)(x − 3) (kontrollera att om du utvecklar detta så får du precis x 2 − 5x + 6). Detta ger
oss då (x − 2)(x − 3) ≤ 0 och vi ställer upp ett teckenschema:
2 3
(x − 2) - 0 + + +
(x − 3) - - - 0 +
(x − 2)(x − 3) + 0 - 0 +
Vi utläser att (x − 2)(x − 3) ≤ 0 om x ∈ [2, 3]. ⋆
Absolutbelopp
Det här avsnittet handlar om absolutbeloppet. Vi börjar med definitionen
x om x ≥ 0
|x| =
−x om x < 0
alternativt |x| = √ x2 För alla positiva tal x, så gäller det att |x| = x, men om x är negativt så kan man säga att
absolutbeloppet “tar bort minustecknet”. Det gäller alltså att |x| ≥ 0 för alla x, och |x| = 0 endast
om x = 0.
Absolutbeloppet är ett mått på storleken av talet oberoende av vilket tecken det har. Det kan
också tolkas som det avstånd som x är från 0 på tallinjen.
Exempel 3.26. | − 1| = |1|, | − π| = |π|
Exempel 3.27. Lös följande ekvationer:
• |x| = 3.
• |x − 4| = 3.
Lösningsförslag: När man arbetar med absolutbelopp så är det lättast att dela upp problemet i
flera fall, beroende på om det vi tar absolutbelopp på är positivt eller negativt. Det är precis det
vi kommer göra här. Första problemet blir då följande:
Fall 1: Om x ≥ 0 så är |x| = x och vi får att x = 3, vilket då enkelt är en lösning.
Fall 2: Om x < 0 så är|x| = −x och vi får att −x = 3, så x = −3 är den andra lösningen.
Lösningen är alltså att x = 3 eller x = −3. Nu till nästa problem:
Fall 1: Om x − 4 ≥ 0 så är |x − 4| = x − 4 och vi får att x − 4 = 3, så x = 7 är en lösning.
Fall 2: Om x − 4 < 0 så är |x − 4| = −(x − 4) och vi får att −(x − 4) = 3, så x = 1 är den andra
lösningen.
Kontrollera att lösningarna stämmer genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen.
⋆
Nu ska vi kombinera det vi lärde oss om olikheter och använda de i kombination med absolutbelopp.
Exempel 3.28. Lös olikheten |x − 5| ≥ 3.
64