Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Vi testar att vi verkligen har fått fram en primitiv genom att derivera resultatet. Vi får
vilket är precis vad vi ville ha.
Exempel 4.19. Beräkna
Lösningsförslag:
D[x 4 /4 + x 3 + x + C] = x 3 + 3x 2 + 1,
ln 2
ln 1
ln 2
ln 1
3e x dx.
3e x dx = 3 [e x ln 2
] ln 1 = 3(eln 2 − e ln 1 ).
Eftersom e x och ln x är inverser till varandra har vi e ln 2 = 2 och e ln 1 = 1. Vi får alltså
Exempel 4.20. Beräkna
Lösningsförslag:
π/2
0
(2 sin x+cos x) dx = [−2 cos x + sin 2x] π/2
0
3(e ln 2 − e ln 1 ) = 3(2 − 1) = 3.
π/2
(2 sin x + cos x) dx.
Exempel 4.21. Beräkna en primitiv till sin x + cos 2.
0
= −2 cos π/2+sin π+2·cos 0−sin 0 = 0+0+2+0 = 2.
Lösningsförslag: Termen cos 2 är här att betraktas som en konstant och en primitiv blir därför
− cos x + x cos 2. ⋆
Primitiver av produkter och sammansättningar av funktioner
Integraler är alltså en slags antiderivator, men de är normalt mycket svårare att beräkna. Det finns
exempel på integraler som inte har primitiver som kan uttryckas med elementära funktioner. Ett
vanligt exempel är e−x2. Kuriosa 8. Att hitta en primitiv till e−x2 är alltså omöjligt om vi begränsar oss till de elementära funktionerna.
Men det visar sig att för integrationsgränserna −∞ och ∞ (definitionen av integrationsgränserna
−∞ och ∞ ryms normalt inom grundkurser i matematik på högskolan) är integralen möjlig att bestämma!
Det gäller faktiskt att ∞
−∞ e−x2 = √ π. Resultaten kommer som en naturlig följdsats från en sats i
matematisk statistik.
I resten av det här kapitlet ska vi studera primitiver av produkter och sammansatta funktioner.
Om vi ska hitta en primitiv till e 2x så duger inte e 2x eftersom D[e 2x ] = 2e 2x . Vi måste kompensera
för tvåan och provar e 2x /2. Derivatan av denna funktion är e 2x , och alltså är e 2x dx =
e 2x /2 + C.
98
⋆
⋆
⋆