Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Summasymbolen
Summasymbolen , , införs för att man på ett mer kompakt sätt ska kunna skriva summan av ett
större antal termer. Summasymbolen är den stora bokstaven sigma i det grekiska alfabetet. Om
vi exempelvis vill summera alla tal mellan 1 och 30 skulle vi kunna skriva det som
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 +
17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30
vilket är omständligt. Med hjälp av summasymbolen kan man istället skriva detta som
30
Detta läser man som summan av alla tal i då i går från ett till trettio.
Exempel 2.32. Skriv 3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 + 3 10 + 3 11 med hjälp av summasymbolen.
i=1
Lösningsförslag: Vi summerar en massa trepotenser. Potenserna börjar på fyra och slutar på 11.
Vi kan därför skriva
3 4 + 3 5 + 3 6 + 3 7 + 3 8 + 3 9 + 3 10 + 3 11 11
=
Ibland skriver man också 11
i=4 3i för att spara plats. ⋆
Binomialsatsen och Pascals triangel
Vi vet sedan tidigare att
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 ,
enligt kvadreringsregeln. Vi ska nu se vad som händer om vi har en annan exponent än två.
Exempel 2.33. Multiplicera ihop parenteserna i (x + y) 3 .
Lösningsförslag: Användning av resultatet i föregående uppgift ger att
(x + y) 3 = (x + y)(x + y) 2
= (x + y)(x 2 + 2xy + y 2 )
i
i=4
3 i .
= (x + y)x 2 + (x + y)2xy + (x + y)y 2
= x 3 + x 2 y + 2x 2 y + 2xy 2 + xy 2 + y 3
= x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 .
Resultatet kallas kubregeln. ⋆
Exempel 2.34. Multiplicera ihop parenteserna i (x + y) 4 .
Lösningsförslag: Användning av kvadreringsregeln ger att
(x + y) 4 = (x + y)(x + y) 3
= (x + y)(x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 )
= (x + y)x 3 + (x + y)3x 2 y + (x + y)3xy 2 + (x + y)y 3
= x 4 + x 3 y + 3x 3 y + 3x 2 y 2 + 3x 2 y 2 + 3xy 3 + xy 3 + y 4
= x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 .
42