Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

4 Derivator och integraler
Det här kapitlet handlar om derivator och integraler. För att kunna definiera begreepen derivata
och integral behöver vi gränsvärden. Vi börjar därför kapitlet med att studera gränsvärden.
4.1 Gränsvärden
Det finns i grunden två typer av gränsvärden när vi arbetar med funktioner från R till R. Det
ena fallet är när x går mot antingen plus eller minus oändligheten och det andra fallet är när x
närmar sig ett ändligt tal, till exempel 0. Vi ger inte någon formell definition av gränsvärde i den
här kursen, utan hänvisar till läromedel i högskolans grundkurser i matematik.
Gränsvärden när x går mot oändligheten
Att x går mot oändligheten skriver vi som x → ∞ eller x → −∞. Betrakta den rationella funktionen
f(x) = 2x2 − 1
x 2 + 1 .
Först och främst kan vi dra slutsatsen att funktionen är definierad över hela R eftersom nämnaren
x 2 + 1 aldrig kan vara lika med noll. Hur uppför sig då funktionen? Vi kan notera att
f(−a) = 2(−a)2 − 1
(−a) 2 + 1 = 2a2 − 1
a2 = f(a)
+ 1
för alla reella tal a. Det innebär att grafen för f är symmetrisk kring nollan.
Låt oss studera några värden på x. Av symmetriskäl räcker det att titta på positiva värden. Vi
har
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) -1 1/2 7/5 17/10 31/17 49/26 71/37
Vi noterar att alla dessa värden är mindre än två. I Figur 45 har vi skissat f(x) = 2x2 −1
x 2 +1 samt
linjen y = 2. Det verkar som att f(x) → 2 då x → ∞ eller x → −∞.
3
2
1
10 5 5 10
1
2
3
Figur 45: Grafen för f(x) = 2x2 −1
x 2 +1
84
i intervallet [−10, 10].