Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Vi börjar med att dra bort q från båda sidorna och får då
x 2 + px = −q.
Vi försöker nu samla x 2 + px i en jämn kvadrat. Vi ser att
x + p
2 2
= x 2 + px +
p
2 2
stämmer överens med vänsterledet x2 + px så när som på konstanttermen p
2
För att kompensera konstanttermen adderar vi denna från båda sidor av ekvationen. Således
kan vi skriva om vår ekvation som
x 2
p
2
p
2 + px + = −q + .
2
2
Nu kan vi skriva om vänsterledet som en jämn kvadrat och vi får
Detta ger oss
Slutligen subtraherar vi p
2
x + p
2 2
= −q +
p
2 .
2
x + p
p 2 = ± − q.
2 2
2 från båda leden vilket ger oss de två lösningarna:
x = − p
2 ±
p 2 − q.
2
Exempel 2.6. Lös andragradsekvationen x 2 + x − 2 = 0 med hjälp av pq−formeln och sedan med hjälp
av kvadratkomplettering. Kontrollera lösningarna genom insättning.
Lösningsförslag 1: Vi sätter in p = 1 och q = −2 i formeln och får att
x = −1/2 ± (−1/2) 2 − (−2) = −1/2 ± 1/4 + 2 = −1/2 ± 9/4 = −1/2 ± 3/2,
vilket ger x1 = 1 och x2 = −2. Vi kontrollerar sedan att vi har räknat rätt genom insättning och
får 1 2 + 1 − 2 = 0 samt (−2) 2 + −2 − 2 = 0. ⋆
Lösningsförslag 2: Vi skriver om ekvationen som x 2 + x = 2 och samlar x 2 + x i kvadraten
(x + 1/2) 2 = x 2 + x + 1/4,
där 1/2 i parentesen är vald som halva koeffiecienten framför x-termen. Genom att lägga till 1/4
på båda sidor i ekvationen får vi
som vi kan skriva om till
x 2 + x + 1/4 = 2 + 1/4
(x + 1/2) 2 = 9/4.
De tal vars kvadrat är lika med 9/4 är ±3/2, alltså är −1/2 ± 3/2 rötter till vår urspungliga ekvation,
det vill säga x1 = 1 och x2 = −2, vilket är samma lösningar som vi fick ovan.
⋆
Exempel 2.7. Lös ekvationen 3x 2 − 5x = 0 med hjälp av pq− formeln och sedan med kvadratkomplettering.
Kontrollera lösningarna genom insättning.
30
2.