Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

a x
b
Figur 52: Övre och undre rektanglar till funktionen f(x) = x 3 − 4x 2 + 3x + 7.
Exempel 4.13. Låt f(x) = x 2 . Beräkna undersumman respektive översumman på intervallet [1, 2] då
n = 2.
Lösningsförslag: Vi noterar först att f(x) är växande på intervallet [1, 2]. Eftersom n = 2 ska vi
dela upp intervallet i två delar, nämligen [1, 3/2] och [3/2, 2]. Det största värdet på funktionen i
intervallet [1, 3/2] är f(3/2) = 9/4, alltså är M0 = 9/4. Det minsta värdet i samma intervall är
f(1) = 1, alltså är m0 = 1. Det största värdet på f i intervallet [3/2, 2] är f(2) = 4, så M1 = 4 och
det minsta värdet är f(3/2) = 9/4, så m1 = 9/4. Bägge två intervallen har längden 1/2, så
och
Sn = M0 · 1
2 + M1 · 1 9/4 + 4
= =
2 2
25
8
sn = m0 · 1
2 + m1 · 1 1 + 9/4
= =
2 2
13
8
Den sökta arean under funktionskurvan ligger givetvis mellan dessa två areor. Areorna sn och
Sn närmar sig varandra då indelningen blir finare och finare, alltså då antalet delintervall går mot
oändligheten. Vi säger att f är integrerbar om sn och Sn går mot samma tal då n → ∞, och detta
tal kallas för integralen av f.
Integralen av f(x) i intervallet [a, b] betecknas
b
f(x) dx.
a
I inledningen av detta kapitel antog vi att grafen till funktionen låg ovanför x-axeln, men
intergraldefinitionen som arean mellan grafen och x-axeln gäller ändå, om vi tillåter negativa areor.
Exempel 4.14. Integralen av f(x) = x på intervallet [−1, 1] är noll eftersom den är summan av den
negativa arean mellan −1 och 0 och den positiva arean mellan 0 och 1, se Figur 53.
De flesta funktioner du hittills har stött på är integrerbara. I allmänhet gäller att alla kontinuerliga
funktioner är integrerbara.
Anmärkning 1. Observera logiken i påståendet ”Alla kontinuerliga funktioner är integrerbara”. Det
innebär att kontinuerlig är ett tillräckligt villkor för att en funktion f(x) ska vara integrerbar, men inte
något nödvändigt sådant! Det finns funktioner som inte är kontinuerliga men som ändå är integrerbara.
95
⋆