Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

1.0 0.5 0.5 1.0
A1
1.0
0.5
0.5
1.0
Figur 53: Integralen av f(x) = x mellan −1 och 1 är noll eftersom areorna A1 och A2 är lika stora
(1 · 1/2 = 1/2) men har ombytta tecken.
Beräkning av integraler
Vi börjar med en definition.
Om f och F är två funktioner sådana att F ′ (x) = f(x) för alla x i ett intervall I så kallas F för
en primitiv funktion till f i intervallet I.
Exempel 4.15. Låt f(x) = x 2 . Då är x 3 /3 en primitiv funktion till f eftersom F ′ (x) = 3 · x 2 /3 = x 2 .
Även x 3 /3 + 1 är en primitiv funktion till f eftersom ettan försvinner vid derivering.
Som exemplet antyder så finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f
definierad på ett icke-tomt intervall I. Mer precist — om F (x) är en primitiv funktion så är även
F (x) + C en primitiv funktion, där C är en godtycklig konstant.
Vid beräkning av integraler använder vi oss av integralkalkylens huvudsats.
Om f är en kontinuerlig funktion i intervallet [a, b] och om F är en godtycklig primitiv funktion
till f i [a, b] så gäller det att
b
f(x) dx = F (b) − F (a).
a
Observera att detta resultat blir detsamma vilken primitiv funktion man än väljer eftersom
eventuella konstanttermer försvinner vid subtraktionen. Låt till exempel F + C vara en annan
primitiv funktion till f. Då är
b
f(x) dx = F (b) + C − (F (a) + C) = F (b) − F (a).
a
Exempel 4.16. Låt oss verifera att integralen av f(x) = x på intervallet [−1, 1] från Exempel 4.14
verkligen blir noll. F (x) = x 2 /2 är en primitiv till f(x) = x och alltså gäller det att
1
x dx = 1
−1
2 /2 − (−1) 2 /2 = 1/2 − 1/2 = 0.
Funktionsuttrycket f(x) som står under integraltecknet kallas för integrand. Ibland skriver
man f(x) dx utan integrationsgränser. Man menar då en godtycklig primitiv funktion till f(x).
96
A2