Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Exempel 2.14. Man vet att x = 1 och x = 3 är rötter till x 2 + ax + b. Bestäm a och b.
Lösningsförslag: Enligt faktorsatsen gäller det att (x − 1)(x − 3) = x 2 + ax + b, det vill säga
x − 4x + 3 = x 2 + ax + b. Alltså måste a = −4 och b = 3.
⋆
Hur man finner rationella rötter
Oftast är det omöjligt att gissa sig till en rot till en ekvation p(x) = 0. Det finns dock ett enkelt
resultat som gör det möjligt att finna eventuella rationella rötter till p(x) = 0 då polynomet har
heltalskoefficienter. Vi visar hur detta resultat fungerar med ett exempel.
Exempel 2.15. Låt f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6. Finn alla rationella rötter till ekvationen f(x) = 0.
Lösningsförslag: Vi antar att vi har en rationell rot p
q
samma faktorer bortsett från 1 och -1 ( p
q
Om vi multiplicerar uttrycket med q 3 får vi
Vi adderar sedan 6q 3 till båda sidor och får
Genom att bryta ut p i vänsterledet får vi
till ekvationen, där p och q saknar gemen-
är alltså förkortat så långt som möjligt). Då gäller att
3 2 p p
− 6 + 11
q q
p
− 6 = 0.
q
p 3 − 6p 2 q + 11pq 2 − 6q 3 = 0.
p 3 − 6p 2 q + 11pq 2 = 6q 3 .
p(p 2 − 6pq + 11q 2 ) = 6q 3 .
Eftersom nu vänsterledet är delbart med p måste även högerledet vara det. Vi antog att p och q
saknar gemensamma faktorer vilket innebär att p måste dela 6. Möjliga värden på p blir därför
±1, ±2, ±3 och ±6.
På samma sätt kan vi hitta möjliga värden på q. Vi gör detta genom att först subtrahera p 3 från
båda led i ekvationen
p 3 − 6p 2 q + 11pq 2 − 6q 3 = 0
vilket ger
Vi bryter ut q i vänsterledet och får
−6p 2 q + 11pq 2 − 6q 3 = −1 · p 3 .
q(6p 2 + 11pq − 6q 2 ) = −1 · p 3 .
Vi ser att vänsterledet är delbart med q och därför måste också högerledet vara det. Vi antog att
p och q saknar gemensamma faktorer vilket innebär att p måste vara delbart med −1. Vi får alltså
de möjliga värderna ±1 för q. Kombinerar vi alla värden på p och q får vi
1
= 1,
1
2
= 2,
1
3
= 3,
1
6
= 6,
1
1
= −1,
−1
−1
= −1,
1
−1
= 1,
−1
2
= −2,
−1
−2
= −2,
1
−2
= 2,
−1
3
= −3,
−1
−3
= −3,
1
−3
= 3,
−1
6
= −6,
−1
−6
= −6,
1
−6
= 6,
−1
36