Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

More documents

Recommendations

Info

Förord Detta material är avsett att introducera matematik för nya universitets- och högskolestudenter och skrevs som kurslitteratur till Förberedande kurs i matematik, som är en distanskurs utvecklad av Stockholms universitet. Kursen riktar sig till nya studenter i ämnet samt till de som vill få en djupare bild av matematiken. Materialet repeterar till en viss del grundläggande gymnasiematematik på universitetsvis, men tar också upp en hel del nya saker som vi tror att läsaren kommer att ha stor nytta av vid eventuellt kommande matematikstudier vid universitet eller högskola. Läsaren förutsätts ha kunskaper i ämnet minst motsvarandes gymnasiets Matematik C. Materialet är organiserad i fyra kapitel. Vart och ett av dessa fyra kapitel är indelade i mindre avsnitt. Efter de flesta delavsnitt finns ett mindre antal övningar som läsaren med fördel kan göra för att kontrollera att han eller hon förstått de olika begreppen och metoderna från avsnittet. Alla övningar är tänkta att göras utan hjälp av miniräknare. Kapitel 1 består till stor del av en presentation av olika tal, samt regler för hur man räknar med dessa. Kapitlet utgår från de positiva heltalen och motiverar en rad utvidgningar för att till slut komma fram till de komplexa talen. I kapitel 2 behandlas algebra och kombinatorik. Kapitlet avslutas med en diskussion av några logiska symboler. I kapitel 3 introduceras mängdlära. Med hjälp av mängdlära definierar vi funktionsbegreppet. I slutet av kapitlet behandlas olikheter, absolutbelopp och trigonometri. Kapitel 4 börjar med en genomgång av gränsvärden. Vi använder teorin från gränsvärden för att definiera derivata. Vi definierar slutligen begreppet integral som ett gränsvärde av över- och undersummor. Detta är den tredje upplagan av kursmaterialet. Antalet övningar har ökat och avsnittet om reella funktioner har utökats betydligt. Dessutom har en del mindre tryckfel rättats. Ett stort tack till Sarah Alsaadi som lämnat värdefulla synpunkter på materialet samt konstruerat många övningar. Stockholm, juni 2012 Författarna Tredje upplagan, andra tryckningen Copyright c○ Stockholms universitet 2012
Innehåll 1 Tal 5 1.1 De positiva heltalen och de naturliga talen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Heltalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Moduloräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Representation av heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Rationella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.9 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Algebra, kombinatorik och logik 27 2.1 Polynom och polynomekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Faktorsatsen och polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Funktionslära 47 3.1 Mängdlära . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Funktionsbegreppet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Grafritning och reella funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Olikheter och absolutbelopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Derivator och integraler 84 4.1 Gränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.3 Integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5 Facit till övningarna 101 Sakregister 107
Page 1: Förberedande kurs i matematik Alex
Page 5 and 6: 1 Tal Det första kapitlet handlar
Page 7 and 8: Potenser För att lättare hantera
Page 9 and 10: Låt oss betrakta motsvarande situa
Page 11 and 12: Övningar 1. Hur många positiva de
Page 13 and 14: Lösningsförslag: Vi börjar med a
Page 15 and 16: Övningar 1. Konvertera 34 till bas
Page 17 and 18: Lösningsförslag: Vi har 6 = 2 ·
Page 19 and 20: 4. Representerar −1/3 och 1 1 −
Page 21 and 22: Lösningsförslag 1: √ −2/3 2 =
Page 23 and 24: genom att använda den distrubutiva
Page 25 and 26: Konjugatregeln Konjugatregeln säge
Page 27 and 28: 2 Algebra, kombinatorik och logik I
Page 29 and 30: Exempel 2.4. Ekvationen x 2 − 16
Page 31 and 32: Lösningsförslag 1: Först divider
Page 33 and 34: 2.2 Faktorsatsen och polynomdivisio
Page 35 and 36: Eftersom vi slutade med en nolla gi
Page 37 and 38: det vill säga ±1, ±2, ±3 och ±
Page 39 and 40: Permutationer En permutation är et
Page 41 and 42: där P1 står för person ett, P2 f
Page 43 and 44: Vi kommer att formulera regler för
Page 45 and 46: än 0” eller ”x större än 10
Page 47 and 48: 3 Funktionslära Funktioner är mat
Page 49 and 50: Definitionsmängd, värdemängd och
Page 51 and 52: Övningar 1. Låt f vara en funktio
Page 53 and 54:
vi bestämma x-koordinaterna för s
Page 55 and 56:
f −1 (x) = √ x, eftersom det ju
Page 57 and 58:
När funktionen f har udda grad så
Page 59 and 60:
vilken vi kan skriva om som x 2 + 3
Page 61 and 62:
Övningar 1. Vilka av följande mä
Page 63 and 64:
5 − 2x ≥ 7 ⇔ −2 ≥ 2x ⇔
Page 65 and 66:
Lösningsförslag: Vi delar upp pro
Page 67 and 68:
Vinkelbegreppet Vi har nu stött p
Page 69 and 70:
1 v 1 x y px,y 1 1 1 Figur 23: En p
Page 71 and 72:
Vi kan nu använda Pythagoras sats
Page 73 and 74:
1 v v cos v, sin v 1 1 1 cosv, sinv
Page 75 and 76:
v b a Figur 30: En triangel med de
Page 77 and 78:
Vi får 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
Page 79 and 80:
6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Figur 37: G
Page 81 and 82:
Polär framställning av komplexa t
Page 83 and 84:
x 30 o Figur 44: Längden av sidan
Page 85 and 86:
Det gäller att gränsvärdet för
Page 87 and 88:
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 2.0 1.5 1.0
Page 89 and 90:
Produktregeln Produktregeln beskriv
Page 91 and 92:
Är derivatan alltid definierad? L
Page 93 and 94:
Maximum och minimum av en funktion
Page 95 and 96:
a x b Figur 52: Övre och undre rek
Page 97 and 98:
Några integrationsregler Låt D be
Page 99 and 100:
På samma sätt har vi sin 5x dx =
Page 101 and 102:
5 Facit till övningarna Kapitel 1
Page 103 and 104:
2. a = 8/7, b = 2/7. 3. x = −1/2,
Page 105 and 106:
(b) x = 1 9. λ = ln 2/T . 10. (a)
Page 107 and 108:
Sakregister översumma, 94 absolutb
show all

Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?