Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

1 Tal
Det första kapitlet handlar om räkning med olika typer av tal.
1.1 De positiva heltalen och de naturliga talen
Vi börjar med de tal man stöter på dagligen, nämligen positiva heltal. Det är tal som räknar hela
antal. Mängden av de positiva heltalen betecknas Z+ och
Z+ = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Om vi vill understryka att till exempel talet 2 är ett positivt heltal så skriver vi
2 ∈ Z+,
där symbolen ∈ betyder tillhör. På motsvarande sätt betyder −2 /∈ Z+ att −2 inte tillhör mängden
Z+, det vill säga att −2 inte är ett positivt heltal.
Med de positiva heltalen saknar vi möjlighet att uttrycka "ingenting". Därför inför vi de naturliga
talen som är de positiva heltalen inklusive talet noll. Vi betecknar de naturliga talen med
symbolen N och
N = {0, 1, 2, 3 . . .}.
Observera att N och Z+ bara skiljer sig åt på ett enda tal (nollan). Eftersom alla tal som finns i Z+
också finns i N. så är Z+ en delmängd av N, vilket vi skriver som
Z+ ⊂ N.
Vad är det egentligen vi gör när vi adderar två naturliga tal? Varför är till exempel 4 + 1 = 5?
Det beror helt enkelt på att vi har definierat addition med ett som att röra oss till nästa tal i
uppräkningen 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .. Betraktar vi talen som utplacerade på en linje kan vi tänka oss
addition med ett som att gå ett steg till höger på den linjen. Att 4 + 4 = 8 beror på att när vi flyttar
oss fyra steg till höger från 4 så kommer vi att hamna på 8.
Eftersom vi hela tiden rör oss till höger på linjen när vi adderar naturliga tal så kommer vi
alltid att få ett nytt naturligt tal. Vi säger att de naturliga talen är slutna under addition.
Multiplikation betraktar vi som upprepad addition och
a · b = a + · · · + a .
b stycken
Vi har visat att de naturliga talen är slutna under addition och eftersom multiplikation är
upprepad addition så följer det att de naturliga talen är slutna även under multiplikation.
När vi subtraherar ett naturligt tal från ett annat rör vi oss till vänster på tallinjen. Om vi ska
räkna ut 4 − 5 så startar vi på position fyra och rör oss fem steg åt vänster. Men de naturliga
talen ”slutar” vid noll. De naturliga talen är alltså inte slutna under subtraktion. Så vi utvidgar de
naturliga talen till heltalen .
1.2 Heltalen
Med de hela talen menas mängden
och denna betecknas Z. Det gäller alltså att
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Z+ ⊂ N ⊂ Z.