Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

92 KAPITEL 7. AFRUNDING
derfor kunne det ikke lineariseres.
Vi gik derfor videre med to metoder til stabilitetsundersøgelse for at f˚a et mere
præcist indblik i systemets opførsel omkring det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt.
Først definerede vi tre former for stabilitet, som et ligevægtspunkt kan
befinde sig i. Dernæst blev teorien omhandlende nulkliner gennemg˚aet. Herunder
hvordan de findes, og hvad der kan tolkes ud fra dem.
Herefter beskæftigede vi os med en anden metode til stabilitetsundersøgelse,
Lyapunov-funktioner. Først definerede vi, hvad en Lyapunov-funktion er, og
dernæst beviste vi Lyapunovs sætning. De nødvendige værktøjer var hermed
blevet introduceret, og de kunne dernæst anvendes p˚a Lotka-Volterramodellen.
Først fandt vi systemets nulkliner og optegnede retningsfeltet med nulklinerne.
Det var herigennem muligt at f˚a et indblik i løsningernes opførsel omkring
ligevægtspunkterne. For at f˚a større indsigt i løsningernes opførsel konstruerede
vi en Lyapunov-funktion for det ikke-hyperbolske ligevægtspunkt. Derigennem
kunne vi konkludere, at løsningerne enten var spiralerende eller lukkede kurver.
Her sandsynliggjorde vi, at løsningerne omkring dette ligevægtspunkt var
lukkede kurver.
Efter dette gennemgik vi nogle numeriske approksimationsmetoder, Eulers
metode og Runge-Kuttametoder. Vi anvendte først Eulers metode p˚a Lotka-
Volterramodellen og n˚aede frem til, at hvis skridtlængden blev valgt tilpas
lille, fik vi en lukket kurve. Efterfølgende benyttede vi 2. og 4. ordens Runge-
Kuttametoderne p˚a Lotka-Volterramodellen. Her n˚aede vi ligeledes frem til, at
løsningskurverne var lukkede kurver.
Vi har dermed bearbejdet Lotka-Volterramodellen p˚a baggrund af samtlige emner,
som vi har beskæftiget os med i denne rapport. Vi har s˚aledes f˚aet et klart
billede af, hvordan modellen opfører sig.