Lotka-Volterramodellen - Home Page of Lars Holm Jensen

4.2 Lotka-Volterra 65
P˚a samme m˚ade gælder det, at de punkter i S + ε , som forlader C til venstre, er
ét ˚abent interval. Der gælder, at foreningen af de to ˚abne intervaller er et ˚abent
interval. Komplementet til et ˚abent interval er lukket. Da de to intervaller ikke
skærer hinanden, er det lukkede interval, som ligger mellem dem, ikke-tomt.
Idet løsningerne til de begyndelsesbetingelser, der ligger i det lukkede interval,
hverken forlader C + til højre eller til venstre, betyder det, at de m˚a g˚a mod 0,
n˚ar t → ∞. Det samme gælder for C − .
Det næste, der skal vises, er, at der kun ligger ét punkt i det lukkede interval,
at der kun findes én løsning x(t), som bliver i C for alle t og at x(t) er tangent
til y-aksen i origo. Dette er ikke medtaget, s˚a der henvises til [HSD04].
y
Figur 4.2: Et umuligt scenario for løsningskurverne
4.2 Lotka-Volterra
I afsnit 1.1 fandt vi frem til, at væksthastigheden for byttedyrene, n˚ar de lever
isolerede, kan beskrives ved differentialligningen
db
= Ab, A ∈ R+
dt
P˚a samme m˚ade kan væksthastigheden for rovdyrene, n˚ar de lever isolerede,
beskrives ved differentialligningen
dr
dt
= −Dr, D ∈ R+
Vi vil nu beskæftige os med, hvad der sker, n˚ar rovdyrene og byttedyrene omg˚as
hinanden. Vi antager, at antallet af byttedyr falder med en hastighed, som
er proportional med antallet af møder mellem rovdyr og byttedyr. Antallet af
møder antages endvidere at være proportionalt med produktet af antallet af
byttedyr b og antallet af rovdyr r. Ved at lade B udtrykke denne sammenhæng,
x